Loi de Bernoulli - Les Bases

Imagine que tu lances une pièce : tu peux avoir pile (succès) ou face (échec). C'est exactement ce qu'étudie la loi de Bernoulli ! Elle modélise une expérience aléatoire avec seulement deux issues possibles.

Dans cette loi, p représente la probabilité de succès. La variable aléatoire X compte le nombre de succès : elle vaut 1 si c'est un succès (probabilité p) et 0 si c'est un échec (probabilité 1-p).

L'espérance E(X) = p te donne la moyenne théorique de succès. C'est comme si tu faisais l'expérience des milliers de fois - tu obtiendrais en moyenne p succès par expérience.

Astuce pratique : L'espérance d'une loi de Bernoulli est simplement la probabilité de succès !

Variance et Schéma de Bernoulli

La variance V(X) = p$1-p$ mesure à quel point tes résultats vont être dispersés autour de la moyenne. L'écart-type σ(X) = √p$1-p$ te donne cette dispersion dans la même unité que tes données.

Maintenant, si tu répètes cette expérience n fois, tu obtiens un schéma de Bernoulli. C'est là qu'intervient la loi binomiale X~B(n,p) qui compte le nombre total de succès sur ces n expériences.

La formule magique devient : P$X = k$ = C(n,k) × p^k × $1-p$^$n-k$. Cette formule te donne la probabilité d'avoir exactement k succès sur n essais.

Pour une loi binomiale : E(X) = np et V(X) = np$1-p$. Logique non ? Si tu fais n expériences avec une probabilité p chacune, tu espères np succès !

Point clé : La loi binomiale généralise la loi de Bernoulli pour n expériences répétées.

Échantillonnage et Intervalle de Fluctuation

L'échantillonnage te permet de tester si tes observations correspondent à la théorie. Tu vas utiliser l'intervalle de fluctuation à 95% pour vérifier tes hypothèses.

Concrètement, tu cherches deux valeurs a et b telles que P(X ≤ a) > 0,025 et P(X ≤ b) ≥ 0,975. Cela signifie que 95% des valeurs de X tombent entre a et b.

L'intervalle de fluctuation s'écrit I₉₅% = $a/n ; b/n$. Si ta fréquence observée f = c/n appartient à cet intervalle, alors tu acceptes ton hypothèse sur la valeur de p.

Cette méthode est super utile pour valider tes modèles statistiques ! Si tes résultats expérimentaux tombent dans l'intervalle, c'est que ton modèle théorique fonctionne bien.

Application concrète : Cet outil te permet de vérifier si un dé est truqué ou si un sondage est fiable !