Mathématiques

Méthodes d'Optimisation des Fonctions

test de la seconde dérivée

Maths108 vues·Mis à jour May 8, 2026·12 pages

Cours et Contrôle: Dérivation et Convexité en Mathématiques

eva@eva.csl1

Tu vas maîtriser les concepts de dérivation et de convexité,... Affiche plus

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# CHAPITRE 2 : DÉRIVATION ET CONVEXITÉ -
Terminale: spécialité, 2020-2021, A. Elfanni

# I. Fonctions dérivables

## 1. Rappels

Soit $f$ un

Fonctions dérivables et tangentes

La dérivation te permet de mesurer comment une fonction varie en un point donné. C'est comme calculer la vitesse instantanée d'une voiture !

Une fonction f est dérivable en a quand son taux d'accroissement $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand h tend vers 0. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé et se note f'(a).

La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a). Son équation est : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . C'est la droite qui "colle" parfaitement à la courbe en ce point.

💡 Astuce : Si la dérivée est positive, la fonction monte. Si elle est négative, la fonction descend !

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Dérivées des fonctions usuelles et opérations

Tu dois connaître par cœur les dérivées des fonctions de base : une constante donne 0, $x^n$ donne $nx^{n-1}$ , $\frac{1}{x}$ donne $-\frac{1}{x^2}$ , et $\sqrt{x}$ donne $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Les règles de calcul sont tes meilleures amies : $(u+v)' = u' + v'$ , $(ku)' = ku'$ , et surtout $(uv)' = u'v + uv'$ pour les produits. Pour les quotients, c'est $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Ces formules te permettront de dériver n'importe quelle fonction complexe en la décomposant en fonctions plus simples.

💡 Astuce : Entraîne-toi régulièrement sur les dérivées de base, ça doit devenir un automatisme !

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Applications : variations et extremums

Le signe de la dérivée révèle tout sur les variations de ta fonction. Si f' > 0, alors f est croissante. Si f' < 0, alors f est décroissante. Simple et efficace !

Les extremums locaux (maximum ou minimum) se trouvent là où la dérivée s'annule. Si f'(a) = 0, alors la fonction peut avoir un extremum en a.

Attention, la réciproque est fausse ! Par exemple, f(x) = x³ a une dérivée qui s'annule en 0, mais pas d'extremum. Il faut que la dérivée change de signe pour avoir un vrai extremum.

💡 Astuce : Dresse toujours un tableau de signes de f' pour visualiser les variations !

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Fonctions composées

Une fonction composée $g \circ f$ s'obtient en appliquant d'abord f, puis g au résultat : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . C'est comme une chaîne d'opérations !

Avec f(x) = 2x + 3 et g(x) = 4x + 3, tu obtiens $(g \circ f)(x) = g(2x + 3) = 4(2x + 3) = 8x + 12$ . Remarque que $(g \circ f) \neq (f \circ g)$ en général.

Cette notion est fondamentale car elle prépare la dérivation en chaîne, un outil puissant pour dériver des fonctions complexes.

💡 Astuce : Visualise la composition comme des boîtes : x entre dans la boîte f, puis le résultat entre dans la boîte g !

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Dérivation des fonctions composées

La dérivée d'une fonction composée suit la règle de la chaîne : $(g \circ f)' = f' \times g' \circ f$ , soit $(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))$ .

Cette règle te donne des formules magiques : $((u(x))^m)' = m \times u'(x) \times (u(x))^{m-1}$ et $(\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ quand u(x) > 0.

Pour l'exponentielle composée, c'est encore plus simple : $(e^{u(x)})' = u'(x) \times e^{u(x)}$ . La fonction exponentielle se dérive "en gardant sa forme" !

💡 Astuce : Identifie toujours la fonction "intérieure" u(x) et sa dérivée u'(x) avant d'appliquer la formule !

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Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde f'' est la dérivée de f'. Elle renseigne sur la convexité de ta fonction, c'est-à-dire sur la "courbure" de sa courbe.

Une fonction est convexe quand sa courbe est "tournée vers le haut", comme un sourire. Mathématiquement, cela signifie que f'' ≥ 0. La courbe est alors au-dessus de toutes ses tangentes.

Si f'' ≤ 0, la fonction est concave (courbe "tournée vers le bas"). Ces notions sont cruciales pour comprendre la forme globale d'une courbe.

💡 Astuce : Convexe = "sourire" (f'' > 0), Concave = "tristesse" (f'' < 0) !

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Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de courbure : elle passe de convexe à concave ou inversement. C'est comme un point de "retournement" de la courbe.

Pour la fonction f(x) = x³, on a f''(x) = 6x. La dérivée seconde s'annule en x = 0 et change de signe, donc l'origine est un point d'inflexion.

Le point d'inflexion correspond au moment où la courbe "traverse" sa tangente au lieu d'être simplement "collée" dessus.

💡 Astuce : Cherche les points où f'' = 0 ET où f'' change de signe pour trouver les points d'inflexion !

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Propriétés des points d'inflexion

La condition pour avoir un point d'inflexion en a est que f''(a) = 0 ET que f'' change de signe en a. Sans changement de signe, pas de point d'inflexion !

Le graphique montre parfaitement cette transition : la fonction passe de convexe (f'' > 0) à concave (f'' < 0) ou inversement, en traversant l'axe des x pour f''.

Cette propriété est essentielle pour l'étude complète d'une fonction : après avoir étudié les variations avec f', tu étudies la convexité avec f''.

💡 Astuce : Un tableau de signes de f'' te donnera directement les zones de convexité et les points d'inflexion !

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