Mathématiques

Méthodes d'Optimisation des Fonctions

test de la seconde dérivée

Maths

25 nov. 2025

12 pages

Cours et Contrôle: Dérivation et Convexité en Mathématiques

eva @eva.csl1

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# CHAPITRE 2 : DÉRIVATION ET CONVEXITÉ -
Terminale: spécialité, 2020-2021, A. Elfanni

# I. Fonctions dérivables

## 1. Rappels

Soit $f$ un

Fonctions dérivables et tangentes

La dérivation te permet de mesurer comment une fonction varie en un point donné. C'est comme calculer la vitesse instantanée d'une voiture !

Une fonction f est dérivable en a quand son taux d'accroissement $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand h tend vers 0. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé et se note f'(a).

La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a). Son équation est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . C'est la droite qui "colle" parfaitement à la courbe en ce point.

💡 Astuce Si la dérivée est positive, la fonction monte. Si elle est négative, la fonction descend !

Dérivées des fonctions usuelles et opérations

Tu dois connaître par cœur les dérivées des fonctions de base une constante donne 0, $x^n$ donne $nx^{n-1}$ , $\frac{1}{x}$ donne $-\frac{1}{x^2}$ , et $\sqrt{x}$ donne $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Les règles de calcul sont tes meilleures amies $(u+v)' = u' + v'$ , $(ku)' = ku'$ , et surtout $(uv)' = u'v + uv'$ pour les produits. Pour les quotients, c'est $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Ces formules te permettront de dériver n'importe quelle fonction complexe en la décomposant en fonctions plus simples.

💡 Astuce Entraîne-toi régulièrement sur les dérivées de base, ça doit devenir un automatisme !

Applications variations et extremums

Le signe de la dérivée révèle tout sur les variations de ta fonction. Si f' > 0, alors f est croissante. Si f' < 0, alors f est décroissante. Simple et efficace !

Les extremums locaux (maximum ou minimum) se trouvent là où la dérivée s'annule. Si f'(a) = 0, alors la fonction peut avoir un extremum en a.

Attention, la réciproque est fausse ! Par exemple, f(x) = x³ a une dérivée qui s'annule en 0, mais pas d'extremum. Il faut que la dérivée change de signe pour avoir un vrai extremum.

💡 Astuce Dresse toujours un tableau de signes de f' pour visualiser les variations !

Fonctions composées

Une fonction composée $g \circ f$ s'obtient en appliquant d'abord f, puis g au résultat $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . C'est comme une chaîne d'opérations !

Avec f(x) = 2x + 3 et g(x) = 4x + 3, tu obtiens $(g \circ f)(x) = g(2x + 3) = 4(2x + 3) = 8x + 12$ . Remarque que $(g \circ f) \neq (f \circ g)$ en général.

Cette notion est fondamentale car elle prépare la dérivation en chaîne, un outil puissant pour dériver des fonctions complexes.

💡 Astuce Visualise la composition comme des boîtes x entre dans la boîte f, puis le résultat entre dans la boîte g !

Dérivation des fonctions composées

La dérivée d'une fonction composée suit la règle de la chaîne $(g \circ f)' = f' \times g' \circ f$ , soit $(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))$ .

Cette règle te donne des formules magiques $((u(x))^m)' = m \times u'(x) \times (u(x))^{m-1}$ et $(\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ quand u(x) > 0.

Pour l'exponentielle composée, c'est encore plus simple $(e^{u(x)})' = u'(x) \times e^{u(x)}$ . La fonction exponentielle se dérive "en gardant sa forme" !

💡 Astuce Identifie toujours la fonction "intérieure" u(x) et sa dérivée u'(x) avant d'appliquer la formule !

Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde f'' est la dérivée de f'. Elle renseigne sur la convexité de ta fonction, c'est-à-dire sur la "courbure" de sa courbe.

Une fonction est convexe quand sa courbe est "tournée vers le haut", comme un sourire. Mathématiquement, cela signifie que f'' ≥ 0. La courbe est alors au-dessus de toutes ses tangentes.

Si f'' ≤ 0, la fonction est concave (courbe "tournée vers le bas"). Ces notions sont cruciales pour comprendre la forme globale d'une courbe.

💡 Astuce Convexe = "sourire" (f'' > 0), Concave = "tristesse" (f'' < 0) !

Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de courbure elle passe de convexe à concave ou inversement. C'est comme un point de "retournement" de la courbe.

Pour la fonction f(x) = x³, on a f''(x) = 6x. La dérivée seconde s'annule en x = 0 et change de signe, donc l'origine est un point d'inflexion.

Le point d'inflexion correspond au moment où la courbe "traverse" sa tangente au lieu d'être simplement "collée" dessus.

💡 Astuce Cherche les points où f'' = 0 ET où f'' change de signe pour trouver les points d'inflexion !

Propriétés des points d'inflexion

La condition pour avoir un point d'inflexion en a est que f''(a) = 0 ET que f'' change de signe en a. Sans changement de signe, pas de point d'inflexion !

Le graphique montre parfaitement cette transition la fonction passe de convexe (f'' > 0) à concave (f'' < 0) ou inversement, en traversant l'axe des x pour f''.

Cette propriété est essentielle pour l'étude complète d'une fonction après avoir étudié les variations avec f', tu étudies la convexité avec f''.

💡 Astuce Un tableau de signes de f'' te donnera directement les zones de convexité et les points d'inflexion !

Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

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Fonctions dérivables et tangentes

La dérivation te permet de mesurer comment une fonction varie en un point donné. C'est comme calculer la vitesse instantanée d'une voiture !

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Tu dois connaître par cœur les dérivées des fonctions de base : une constante donne 0, $x^n$ donne $nx^{n-1}$ , $\frac{1}{x}$ donne $-\frac{1}{x^2}$ , et $\sqrt{x}$ donne $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

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Fonctions composées

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Avec f(x) = 2x + 3 et g(x) = 4x + 3, tu obtiens $(g \circ f)(x) = g(2x + 3) = 4(2x + 3) = 8x + 12$ . Remarque que $(g \circ f) \neq (f \circ g)$ en général.

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Cette règle te donne des formules magiques : $((u(x))^m)' = m \times u'(x) \times (u(x))^{m-1}$ et $(\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ quand u(x) > 0.

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Pour la fonction f(x) = x³, on a f''(x) = 6x. La dérivée seconde s'annule en x = 0 et change de signe, donc l'origine est un point d'inflexion.

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