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Mathématiques

Analyse des Suites et des Séries

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Maths348Mis à jour 25 sept. 20264 pages

Les Suites Numériques en Première STMG

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Les suites numériques, c'est comme une liste ordonnée de nombres qui suivent une règle précise ! Tu vas découvrir comment les définir, les calculer et analyser leur comportement - des outils essentiels pour ton bac.
Mathématiques – page 1

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Définition et types de suites

Une suite est simplement une fonction qui associe à chaque nombre entier naturel (0, 1, 2, 3...) un nombre réel. On la note unu_n où nn représente la position du terme.

Il existe deux façons principales de définir une suite. La forme explicite te donne directement la formule : un=f(n)u_n = f(n), comme un=2n+3u_n = 2n + 3. C'est pratique car tu peux calculer n'importe quel terme directement !

La relation de récurrence fonctionne différemment : elle te donne le premier terme et une règle pour passer d'un terme au suivant. Par exemple, un+1=un+10u_{n+1} = u_n + 10 avec u0=5u_0 = 5. L'inconvénient ? Tu dois calculer tous les termes précédents pour obtenir celui qui t'intéresse.

Astuce : La forme explicite est plus rapide pour les calculs, mais parfois seule la récurrence est possible !

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Calculs et représentation graphique

Avec une relation de récurrence comme un+1=4un+2u_{n+1} = 4u_n + 2 et u0=4u_0 = 4, tu calcules étape par étape : u1=4×4+2=18u_1 = 4 \times 4 + 2 = 18, puis u2=4×18+2=74u_2 = 4 \times 18 + 2 = 74, et ainsi de suite.

Pour représenter graphiquement une suite, tu places des points de coordonnées (n,un)(n, u_n) dans un repère. Chaque point correspond à un terme de la suite.

Prenons un=2n−3u_n = 2n - 3 : tu obtiens u0=−3u_0 = -3, u1=−1u_1 = -1, u2=1u_2 = 1, u3=3u_3 = 3, u4=5u_4 = 5. Les points (0,−3)(0,-3), (1,−1)(1,-1), (2,1)(2,1), (3,3)(3,3), (4,5)(4,5) forment ta représentation graphique.

Bon à savoir : Contrairement aux fonctions, les suites donnent des points isolés, pas une courbe continue !

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Sens de variation des suites

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent : un+1≥unu_{n+1} \geq u_n. Elle est décroissante si c'est l'inverse : un+1≤unu_{n+1} \leq u_n.

Pour le prouver, tu compares un+1u_{n+1} et unu_n. Avec un=2n+2u_n = 2n + 2, tu calcules un+1=2(n+1)+2=2n+4u_{n+1} = 2(n+1) + 2 = 2n + 4. Donc un+1−un=(2n+4)−(2n+2)=2>0u_{n+1} - u_n = (2n + 4) - (2n + 2) = 2 > 0.

Puisque la différence est positive, la suite est croissante ! Cette méthode marche à tous les coups : calcule un+1−unu_{n+1} - u_n et regarde le signe.

Méthode clé : Si un+1−un>0u_{n+1} - u_n > 0, c'est croissant. Si un+1−un<0u_{n+1} - u_n < 0, c'est décroissant !

Mathématiques – page 4

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Exercices pratiques

Pour un=−4n+5u_n = -4n + 5, calculons un+1−unu_{n+1} - u_n : on trouve un+1=−4(n+1)+5=−4n+1u_{n+1} = -4(n+1) + 5 = -4n + 1. Donc un+1−un=(−4n+1)−(−4n+5)=−4u_{n+1} - u_n = (-4n + 1) - (-4n + 5) = -4. Comme c'est négatif, la suite est décroissante.

Avec un=3n−2u_n = 3n - 2, les premiers termes donnent : u0=−2u_0 = -2, u1=1u_1 = 1, u2=4u_2 = 4, u3=7u_3 = 7, u4=10u_4 = 10. Tu vois que chaque terme augmente de 3.

En calculant un+1−un=3(n+1)−2−(3n−2)=3u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n - 2) = 3, on confirme que la différence est constante et positive, donc la suite est croissante.

Conseil exam : Calcule toujours quelques termes pour vérifier tes résultats théoriques !

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