Mathématiques

Analyse des Suites et des Séries

séquence

Maths

9 déc. 2025

214

4 pages

Les Suites Numériques en Première STMG

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Les suites numériques, c'est comme une liste ordonnée de nombres qui suivent une règle précise ! Tu vas... Affiche plus

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● Fiche de Révision
definition d'une suite.
Hathematiques
-Une suite est une fonction notée u de
IN dans R qui à tout ention on bui
associ

Définition et types de suites

Une suite est simplement une fonction qui associe à chaque nombre entier naturel (0, 1, 2, 3...) un nombre réel. On la note $u_n$ où $n$ représente la position du terme.

Il existe deux façons principales de définir une suite. La forme explicite te donne directement la formule $u_n = f(n)$ , comme $u_n = 2n + 3$ . C'est pratique car tu peux calculer n'importe quel terme directement !

La relation de récurrence fonctionne différemment elle te donne le premier terme et une règle pour passer d'un terme au suivant. Par exemple, $u_{n+1} = u_n + 10$ avec $u_0 = 5$ . L'inconvénient ? Tu dois calculer tous les termes précédents pour obtenir celui qui t'intéresse.

**Astuce ** La forme explicite est plus rapide pour les calculs, mais parfois seule la récurrence est possible !

Calculs et représentation graphique

Avec une relation de récurrence comme $u_{n+1} = 4u_n + 2$ et $u_0 = 4$ , tu calcules étape par étape $u_1 = 4 \times 4 + 2 = 18$ , puis $u_2 = 4 \times 18 + 2 = 74$ , et ainsi de suite.

Pour représenter graphiquement une suite, tu places des points de coordonnées $(n, u_n)$ dans un repère. Chaque point correspond à un terme de la suite.

Prenons $u_n = 2n - 3$ tu obtiens $u_0 = -3$ , $u_1 = -1$ , $u_2 = 1$ , $u_3 = 3$ , $u_4 = 5$ . Les points $(0,-3)$ , $(1,-1)$ , $(2,1)$ , $(3,3)$ , $(4,5)$ forment ta représentation graphique.

**Bon à savoir ** Contrairement aux fonctions, les suites donnent des points isolés, pas une courbe continue !

Sens de variation des suites

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent $u_{n+1} \geq u_n$ . Elle est décroissante si c'est l'inverse $u_{n+1} \leq u_n$ .

Pour le prouver, tu compares $u_{n+1}$ et $u_n$ . Avec $u_n = 2n + 2$ , tu calcules $u_{n+1} = 2(n+1) + 2 = 2n + 4$ . Donc $u_{n+1} - u_n = (2n + 4) - (2n + 2) = 2 > 0$ .

Puisque la différence est positive, la suite est croissante ! Cette méthode marche à tous les coups calcule $u_{n+1} - u_n$ et regarde le signe.

**Méthode clé ** Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , c'est croissant. Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , c'est décroissant !

Exercices pratiques

Pour $u_n = -4n + 5$ , calculons $u_{n+1} - u_n$ on trouve $u_{n+1} = -4(n+1) + 5 = -4n + 1$ . Donc $u_{n+1} - u_n = (-4n + 1) - (-4n + 5) = -4$ . Comme c'est négatif, la suite est décroissante.

Avec $u_n = 3n - 2$ , les premiers termes donnent $u_0 = -2$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 4$ , $u_3 = 7$ , $u_4 = 10$ . Tu vois que chaque terme augmente de 3.

En calculant $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n - 2) = 3$ , on confirme que la différence est constante et positive, donc la suite est croissante.

**Conseil exam ** Calcule toujours quelques termes pour vérifier tes résultats théoriques !

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