Suites numériques et récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration en trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion. Pour démontrer qu'une propriété $P_m$ est vraie pour tout entier naturel, on vérifie d'abord qu'elle est vraie pour $m=0$, puis on montre que si elle est vraie pour un entier $m$, alors elle est vraie pour $m+1$.

Par exemple, pour démontrer que $u_m = \frac{1}{m+1}$ avec $u_0 = 1$ et $u_{m+1} = \frac{u_m}{1+u_m}$ :

• Initialisation : $u_0 = 1 = \frac{1}{0+1}$ ✓
• Hérédité : Si $u_m = \frac{1}{m+1}$, alors $u_{m+1} = \frac{\frac{1}{m+1}}{1+\frac{1}{m+1}} = \frac{1}{m+2}$ ✓

Une suite est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout $m$, $u_m \leq M$. Elle est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout $m$, $u_m \geq m$. Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.

💡 Le raisonnement par récurrence est comme monter un escalier : vous vérifiez que vous pouvez monter la première marche, puis que si vous êtes sur une marche quelconque, vous pouvez atteindre la suivante.

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite arithmétique $(u_m)$ vérifie $u_{m+1} = u_m + r$ où $r$ est la raison. La formule explicite est $u_m = u_0 + r \times m$.

Pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes consécutifs. Si cette différence est constante, la suite est arithmétique.

Exemple : Pour $u_m = 3m - 2$

• $u_0 = -2$
• $u_1 = 1$
• $u_2 = 4$
• $u_1 - u_0 = 3$ et $u_2 - u_1 = 3$ La raison $r = 3$ est constante, donc c'est une suite arithmétique.

Une suite géométrique $(u_m)$ vérifie $u_{m+1} = q \times u_m$ où $q$ est la raison. La formule explicite est $u_m = u_0 \times q^m$.

Pour vérifier qu'une suite est géométrique, on calcule le quotient de deux termes consécutifs. Si ce quotient est constant, la suite est géométrique.

Exemple : Pour $u_m = 2 \times 5^m + 1$, il faut calculer $\frac{u_{m+1}}{u_m}$ pour déterminer si c'est une suite géométrique.

💡 Les suites arithmétiques augmentent (ou diminuent) de façon constante, comme les étages d'un immeuble. Les suites géométriques sont multipliées par un facteur constant, comme l'argent placé avec des intérêts composés.

Dérivation et convexité

Les formules de dérivation à connaître :

• $(u + v)' = u' + v'$
• $(u \times v)' = u' \times v + v' \times u$
• $(u/v)' = (u' \times v - v' \times u)/v^2$
• $(1/u)' = -u'/u^2$
• $(e^u)' = u' \times e^u$
• $(\sqrt{u})' = u'/(2\sqrt{u})$
• $(u^m)' = m \times u' \times u^{m-1}$

La convexité d'une fonction se détermine par sa dérivée seconde :

• Si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe $courbe au-dessus de la tangente$
• Si $f''(x) < 0$, la fonction est concave $courbe en-dessous de la tangente$
• Si $f''(x) = 0$, on a un point d'inflexion

La convexité est liée à la variation de la dérivée :

• Fonction convexe : la dérivée $f'$ est croissante
• Fonction concave : la dérivée $f'$ est décroissante

💡 Visualisez la convexité comme un bol (convexe) ou comme un dôme (concave). Au point d'inflexion, la courbe change de forme, comme un serpent qui se retourne.

Équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ s'écrit :

$$y = f'(a)$x-a$ + f(a)$$

Cette équation utilise :

• Le coefficient directeur de la tangente, qui est égal à $f'(a)$
• Le point de contact $(a, f(a))$

Cette formule est essentielle pour étudier le comportement local d'une fonction et pour approximer linéairement une fonction autour d'un point.

💡 La tangente est comme une règle que vous placeriez exactement sur un point de la courbe : elle touche la courbe en ce point précis et indique la direction que suit la fonction à cet endroit.

Probabilités

Les formules essentielles en probabilités :

• Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• Probabilité d'intersection (pour A et B indépendants) : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• Probabilité d'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Probabilité totale : $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$
• Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
• Test d'indépendance : A et B sont indépendants si $P_A(B) = P(B)$

L'épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (S) ou échec $\bar{S}$.

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter une épreuve de Bernoulli $m$ fois de manière identique et indépendante. Il est caractérisé par les paramètres $B(m, p)$ où :

• $m$ est le nombre d'épreuves
• $p$ est la probabilité de succès

💡 Pensez aux probabilités comme à la météo : on peut prédire s'il va pleuvoir, mais avec une certaine incertitude. L'épreuve de Bernoulli, c'est comme lancer une pièce (pile ou face), et le schéma de Bernoulli, c'est lancer cette pièce plusieurs fois.

Loi binomiale

La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $B(m,p)$.

Formules importantes :

• Probabilité d'obtenir exactement $k$ succès : $P(X=k) = \binom{m}{k} \times p^k \times (1-p)^{m-k}$
• Probabilité d'obtenir au moins $k$ succès : $P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} P(X=i)$
• Espérance : $E(X) = m \times p$

Pour calculer la probabilité d'obtenir au moins $k$ succès, on peut utiliser la méthode complémentaire. Par exemple : $P(X \geq 6) = 1 - (P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0))$

Pour déterminer le nombre minimum d'épreuves nécessaires pour une probabilité donnée, on résout l'équation correspondante. Par exemple, pour $P(X \geq 1) \approx 0,99$ : $1 - P(X=0) \approx 0,99$ soit $1 - (1-p)^m \approx 0,99$

💡 La loi binomiale est comme un compteur de réussites : si vous tirez à l'arc 10 fois avec 30% de chance de toucher la cible à chaque tir, elle vous dit la probabilité de toucher exactement 3 fois, au moins 5 fois, etc.

Vecteurs, droites et plans de l'espace

La colinéarité et le parallélisme sont liés :

• Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si $\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v}$ avec $\lambda \neq 0$
• Trois points A, B et C sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires

La relation de Chasles s'écrit : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Des vecteurs sont coplanaires s'ils appartiennent à un même plan :

• Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}$

Pour vérifier que des vecteurs sont coplanaires, on résout un système d'équations. Par exemple, pour vérifier si $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} 6 \ 12 \end{pmatrix}$ sont coplanaires, on résout le système pour trouver $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}$.

💡 Imaginez les vecteurs colinéaires comme des flèches pointant dans la même direction (ou la direction opposée). Les vecteurs coplanaires, c'est comme dessiner plusieurs flèches sur une même feuille de papier.

Limites de suites

Pour les suites géométriques $(u_n) = u_0 \times q^n$ :

• Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$
• Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$
• Si $q \leq -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite
• Si $q = 1$, la suite $(q^n) = 1$ est constante

La limite d'une suite géométrique $(u_n) = u_0 \times q^n$ dépend donc du signe de $u_0$ et de la limite de $q^n$.

Les suites arithmético-géométriques ont la forme $u_{n+1} = au_n + b$. On peut les étudier en posant $v_n = u_n - L$ où $L$ est la limite éventuelle de la suite.

Exemple : Pour $u_{n+1} = 0,95 u_n + 20$ avec $u_0 = 200$, on pose $v_n = u_n - 400$. On obtient $v_{n+1} = 0,95 v_n$, donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$. On trouve $v_n = v_0 \times q^n = -200 \times 0,95^n$, donc $u_n = 400 - 200 \times 0,95^n$. Comme $|q| < 1$, on a $\lim_{n \to \infty} 0,95^n = 0$, donc $\lim_{n \to \infty} u_n = 400$.

💡 Pour comprendre les limites, imaginez une balle rebondissante : si chaque rebond est 95% de la hauteur précédente, la balle s'approche de plus en plus du sol sans jamais s'arrêter complètement. Sa hauteur tend vers 0.

Orthogonalité et distances dans l'espace

L'orthogonalité entre vecteurs est définie par le produit scalaire :

• Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$

Pour l'orthogonalité entre droite et plan :

• Une droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est orthogonale à un plan $P$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à tout vecteur du plan
• Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan

La distance d'un point à un plan :

• Le projeté orthogonal H d'un point A sur un plan P est le point de P le plus proche de A
• Si le plan P passe par un point B et a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}$, alors la distance de A à P est $d(A, P) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}$

💡 L'orthogonalité dans l'espace, c'est comme les angles droits partout : entre deux vecteurs, entre une droite et un plan. Et la distance d'un point à un plan, c'est comme mesurer la hauteur d'un avion par rapport au sol.

Limites de fonctions

Pour les limites de fonctions, on utilise plusieurs techniques :

1. Par somme : Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ et $\lim_{x \to a} g(x) = m$, alors $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l + m$

2. Par produit : Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ et $\lim_{x \to a} g(x) = m$, alors $\lim_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = l \times m$

3. Par quotient : Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ et $\lim_{x \to a} g(x) = m \neq 0$, alors $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m}$

Pour les formes indéterminées, on utilise des techniques spécifiques comme les croissances comparées.

L'interprétation graphique des limites est importante :

• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$, alors la droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$
• Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe

💡 Les asymptotes sont comme des rails de train : la courbe s'en approche de plus en plus sans jamais les toucher (ou en les touchant à l'infini). Une asymptote horizontale, c'est comme un plafond ou un plancher que la courbe ne franchira jamais.