Matières

Maths

•

4 déc. 2025

•

18 pages

Exercices et Corrigés du Second Degré en Mathématiques

eva

@eva.csl1

Tu vas maîtriser les fonctions du second degré avec des... Affiche plus

1 / 10

PSPE: EXERCICES SECOND DEGRE.
Exercice 1: Dans chacun des cas suivants, en utilisant la première méthode vue en cours:
a) Déterminer la form

Forme canonique : première méthode par complétion du carré

La forme canonique d'une fonction du second degré te permet de visualiser directement le sommet de ta parabole. C'est super pratique pour dresser les tableaux de variations !

Pour transformer f(x) = 2x² - 12x + 23 en forme canonique, tu factorises d'abord par le coefficient de x² : f(x) = 2 $x² - 6x + 11,5$ . Ensuite, tu complètes le carré en ajoutant et soustrayant le carré de la moitié du coefficient de x.

Tu obtiens ainsi f(x) = 2 $(x-3)² + 2,5$ , ce qui te donne directement le sommet S(3; 5). Le signe du coefficient principal (ici positif) détermine si ta parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.

💡 Astuce : Le sommet est toujours au point (α; β) où α est la valeur dans la parenthèse et β l'ordonnée du sommet.

Suite des formes canoniques et tableaux de variations

Avec f₃(x) = 3x² + 30x + 63, tu obtiens la forme canonique f₃(x) = 3 $x+5$ ² - 12. Le sommet est donc S₃(-5; -12), et comme le coefficient principal est positif, la fonction décroît puis croît.

Pour f₄(x) = -5x² + 40x - 83, la forme canonique devient f₄(x) = -5 $x-4$ ² - 3 avec le sommet S₄(4; -3). Ici, le coefficient principal négatif signifie que la parabole s'ouvre vers le bas : la fonction croît puis décroît.

Les tableaux de variations se dressent facilement : tu places le sommet au milieu, et selon le signe du coefficient principal, tu détermines si c'est un minimum ou un maximum.

💡 Rappel : Coefficient positif = parabole souriante, coefficient négatif = parabole triste !

Forme canonique : deuxième méthode avec le discriminant

Cette méthode utilise les formules α = -b/2a et β = -Δ/4a où Δ = b² - 4ac. C'est souvent plus rapide que la complétion du carré !

Pour f₁(x) = 2x² - 12x + 23 : tu calcules Δ = (-12)² - 4×2×23 = -40, puis α = 12/4 = 3 et β = 40/8 = 5. Tu retrouves bien S₁(3; 5) et f₁(x) = 2 $x-3$ ² + 5.

Cette méthode te donne exactement les mêmes résultats que la première, mais elle est plus mécanique. Le discriminant Δ te sera aussi utile pour résoudre les équations du second degré.

💡 Bon à savoir : Ces deux méthodes sont interchangeables - choisis celle que tu préfères selon l'exercice !

Fin des calculs avec la méthode du discriminant

Pour f₄(x) = -5x² + 40x - 83, tu calcules Δ = 40² - 4×(-5)×(-83) = 1600 - 1660 = -60. Ensuite α = -40/(-10) = 4 et β = -(-60)/(-20) = -3.

Tu obtiens donc le sommet S₄(4; -3) et la forme canonique f₄(x) = -5 $x-4$ ² - 3. C'est exactement le même résultat qu'avec la première méthode !

L'avantage de cette méthode c'est qu'elle te prépare déjà pour résoudre les équations du second degré, puisque tu auras déjà calculé le discriminant.

💡 Technique : Garde tes calculs de Δ précieusement, ils te resserviront pour les équations !

Résolution d'équations du second degré

Résoudre f(x) = 0 te permet de trouver les points d'intersection avec l'axe des x et de factoriser ta fonction. C'est essentiel pour ton bac !

Pour f₁(x) = 3x² + 10x - 48, tu calcules Δ = 676, donc √Δ = 26. Les solutions sont x₁ = -6 et x₂ = 8/3, ce qui te donne la factorisation f₁(x) = 3 $x+6$ $x-8/3$ .

Attention aux cas particuliers : si Δ < 0 (comme pour f₂), il n'y a pas de solution réelle. Si Δ = 0 (comme pour f₃), il y a une solution double x₀ = 5, et f₃(x) = 4 $x-5$ ².

💡 Méthode : Δ > 0 → 2 solutions, Δ = 0 → 1 solution, Δ < 0 → aucune solution réelle.

Intersection de deux courbes

Pour trouver les points communs entre deux courbes, tu résous f(x) = g(x), ce qui revient à résoudre une équation du second degré.

Avec f(x) = 3 + x² et g(x) = 4x, tu obtiens l'équation x² - 4x + 3 = 0. Le discriminant Δ = 4 te donne les solutions x = 1 et x = 3.

Les coordonnées des points d'intersection sont A(1; 4) et B(3; 12). Tu peux vérifier en calculant f(1) = g(1) = 4 et f(3) = g(3) = 12.

💡 Vérification : Calcule toujours f(x) ET g(x) pour chaque solution - tu dois tomber sur la même ordonnée !

Suite des intersections de courbes

Pour f(x) = -4x² + x et g(x) = 17x - 48, l'équation f(x) = g(x) devient -4x² - 16x + 48 = 0. Le discriminant Δ = 1024 te donne √Δ = 32.

Les solutions sont x₁ = -6 et x₂ = 2, ce qui correspond aux points d'intersection A(-6; -150) et B(2; -14). N'oublie pas de vérifier tes calculs avec les deux fonctions !

La méthode reste identique : tu transformes l'équation f(x) = g(x) en équation du second degré, tu calcules le discriminant, et tu trouves les coordonnées des points.

💡 Attention : Les coordonnées peuvent être négatives ou avoir des valeurs importantes - c'est normal !

Cas particuliers d'intersections

Parfois tu tombes sur des cas particuliers intéressants. Pour f(x) = 12x² + 3 et g(x) = 12x, le discriminant Δ = 0 signifie qu'il y a un seul point de contact : A(0,5; 6).

Quand Δ < 0 (comme pour l'exemple 4), les deux courbes ne se croisent jamais ! C'est le cas avec f(x) = 3 + 2,5x² et g(x) = x où Δ = -29.

Ces situations sont fréquentes et importantes à reconnaître. Une parabole et une droite peuvent se croiser en deux points, être tangentes (un point) ou ne jamais se rencontrer.

💡 Interprétation : Δ = 0 signifie que les courbes sont tangentes, Δ < 0 qu'elles ne se croisent pas.

Relations entre somme et produit de deux nombres

Ce type d'exercice utilise les formules de Vieta : si a et b sont solutions de x² - sx + p = 0, alors a + b = s et ab = p.

Pour a + b = 5 et ab = 5,25, tu résous x² - 5x + 5,25 = 0. Avec Δ = 4, tu obtiens les solutions x₁ = 1,5 et x₂ = 3,5. Donc a = 1,5 et b = 3,5 (ou l'inverse).

Pour a + b = -3 et ab = -40, l'équation devient x² + 3x - 40 = 0. Le discriminant Δ = 169 te donne les solutions a = -8 et b = 5.

💡 Technique : Transforme toujours en équation x² - (somme)x + (produit) = 0 pour utiliser les formules !

Cas particuliers des relations somme-produit

Quand le discriminant est nul (exemple 3), tu obtiens une solution double. Pour a + b = -10 et ab = 25, l'équation x² + 10x + 25 = 0 a pour solution unique x = -5. Donc a = b = -5.

Si Δ < 0 $exemple 4 avec a + b = -2 et ab = 3$ , il n'existe pas de nombres réels vérifiant ces conditions. L'équation x² + 2x + 3 = 0 n'a pas de solution réelle.

Ces exercices te préparent parfaitement aux propriétés des équations du second degré et aux relations entre coefficients et racines que tu retrouveras souvent.

💡 Important : Δ < 0 signifie qu'il est impossible de trouver deux nombres réels satisfaisant les conditions données.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.9/5

App Store

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Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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eva

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Tu vas maîtriser les fonctions du second degré avec des méthodes concrètes qui te serviront pour tes contrôles ! On va voir comment trouver la forme canonique, résoudre des équations et analyser les variations des paraboles.

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Forme canonique : première méthode par complétion du carré

La forme canonique d'une fonction du second degré te permet de visualiser directement le sommet de ta parabole. C'est super pratique pour dresser les tableaux de variations !

💡 Astuce : Le sommet est toujours au point (α; β) où α est la valeur dans la parenthèse et β l'ordonnée du sommet.

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Suite des formes canoniques et tableaux de variations

Les tableaux de variations se dressent facilement : tu places le sommet au milieu, et selon le signe du coefficient principal, tu détermines si c'est un minimum ou un maximum.

💡 Rappel : Coefficient positif = parabole souriante, coefficient négatif = parabole triste !

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Forme canonique : deuxième méthode avec le discriminant

Cette méthode utilise les formules α = -b/2a et β = -Δ/4a où Δ = b² - 4ac. C'est souvent plus rapide que la complétion du carré !

Pour f₁(x) = 2x² - 12x + 23 : tu calcules Δ = (-12)² - 4×2×23 = -40, puis α = 12/4 = 3 et β = 40/8 = 5. Tu retrouves bien S₁(3; 5) et f₁(x) = 2 $x-3$ ² + 5.

Cette méthode te donne exactement les mêmes résultats que la première, mais elle est plus mécanique. Le discriminant Δ te sera aussi utile pour résoudre les équations du second degré.

💡 Bon à savoir : Ces deux méthodes sont interchangeables - choisis celle que tu préfères selon l'exercice !

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Fin des calculs avec la méthode du discriminant

Pour f₄(x) = -5x² + 40x - 83, tu calcules Δ = 40² - 4×(-5)×(-83) = 1600 - 1660 = -60. Ensuite α = -40/(-10) = 4 et β = -(-60)/(-20) = -3.

Tu obtiens donc le sommet S₄(4; -3) et la forme canonique f₄(x) = -5 $x-4$ ² - 3. C'est exactement le même résultat qu'avec la première méthode !

L'avantage de cette méthode c'est qu'elle te prépare déjà pour résoudre les équations du second degré, puisque tu auras déjà calculé le discriminant.

💡 Technique : Garde tes calculs de Δ précieusement, ils te resserviront pour les équations !

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Résolution d'équations du second degré

Résoudre f(x) = 0 te permet de trouver les points d'intersection avec l'axe des x et de factoriser ta fonction. C'est essentiel pour ton bac !

Pour f₁(x) = 3x² + 10x - 48, tu calcules Δ = 676, donc √Δ = 26. Les solutions sont x₁ = -6 et x₂ = 8/3, ce qui te donne la factorisation f₁(x) = 3 $x+6$ $x-8/3$ .

Attention aux cas particuliers : si Δ < 0 (comme pour f₂), il n'y a pas de solution réelle. Si Δ = 0 (comme pour f₃), il y a une solution double x₀ = 5, et f₃(x) = 4 $x-5$ ².

💡 Méthode : Δ > 0 → 2 solutions, Δ = 0 → 1 solution, Δ < 0 → aucune solution réelle.

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Intersection de deux courbes

Pour trouver les points communs entre deux courbes, tu résous f(x) = g(x), ce qui revient à résoudre une équation du second degré.

Avec f(x) = 3 + x² et g(x) = 4x, tu obtiens l'équation x² - 4x + 3 = 0. Le discriminant Δ = 4 te donne les solutions x = 1 et x = 3.

Les coordonnées des points d'intersection sont A(1; 4) et B(3; 12). Tu peux vérifier en calculant f(1) = g(1) = 4 et f(3) = g(3) = 12.

💡 Vérification : Calcule toujours f(x) ET g(x) pour chaque solution - tu dois tomber sur la même ordonnée !

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Suite des intersections de courbes

Pour f(x) = -4x² + x et g(x) = 17x - 48, l'équation f(x) = g(x) devient -4x² - 16x + 48 = 0. Le discriminant Δ = 1024 te donne √Δ = 32.

Les solutions sont x₁ = -6 et x₂ = 2, ce qui correspond aux points d'intersection A(-6; -150) et B(2; -14). N'oublie pas de vérifier tes calculs avec les deux fonctions !

La méthode reste identique : tu transformes l'équation f(x) = g(x) en équation du second degré, tu calcules le discriminant, et tu trouves les coordonnées des points.

💡 Attention : Les coordonnées peuvent être négatives ou avoir des valeurs importantes - c'est normal !

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Parfois tu tombes sur des cas particuliers intéressants. Pour f(x) = 12x² + 3 et g(x) = 12x, le discriminant Δ = 0 signifie qu'il y a un seul point de contact : A(0,5; 6).

Quand Δ < 0 (comme pour l'exemple 4), les deux courbes ne se croisent jamais ! C'est le cas avec f(x) = 3 + 2,5x² et g(x) = x où Δ = -29.

Ces situations sont fréquentes et importantes à reconnaître. Une parabole et une droite peuvent se croiser en deux points, être tangentes (un point) ou ne jamais se rencontrer.

💡 Interprétation : Δ = 0 signifie que les courbes sont tangentes, Δ < 0 qu'elles ne se croisent pas.

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Relations entre somme et produit de deux nombres

Ce type d'exercice utilise les formules de Vieta : si a et b sont solutions de x² - sx + p = 0, alors a + b = s et ab = p.

Pour a + b = 5 et ab = 5,25, tu résous x² - 5x + 5,25 = 0. Avec Δ = 4, tu obtiens les solutions x₁ = 1,5 et x₂ = 3,5. Donc a = 1,5 et b = 3,5 (ou l'inverse).

Pour a + b = -3 et ab = -40, l'équation devient x² + 3x - 40 = 0. Le discriminant Δ = 169 te donne les solutions a = -8 et b = 5.

💡 Technique : Transforme toujours en équation x² - (somme)x + (produit) = 0 pour utiliser les formules !

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Cas particuliers des relations somme-produit

Quand le discriminant est nul (exemple 3), tu obtiens une solution double. Pour a + b = -10 et ab = 25, l'équation x² + 10x + 25 = 0 a pour solution unique x = -5. Donc a = b = -5.

Si Δ < 0 $exemple 4 avec a + b = -2 et ab = 3$ , il n'existe pas de nombres réels vérifiant ces conditions. L'équation x² + 2x + 3 = 0 n'a pas de solution réelle.

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Forme canonique : deuxième méthode avec le discriminant

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