Le principe du raisonnement par récurrence

Tu veux prouver qu'une propriété P(m) est vraie pour tout entier m ≥ m₀ ? Le raisonnement par récurrence fonctionne en trois étapes simples.

D'abord l'initialisation : tu vérifies que la propriété est vraie au rang de départ m₀. Ensuite l'hérédité : tu supposes que P(m) est vraie pour un certain rang m, et tu démontres qu'elle est alors vraie pour le rang suivant m+1.

Enfin la conclusion : si tu as prouvé l'initialisation et l'hérédité, alors la propriété est vraie pour tous les entiers m ≥ m₀. C'est comme un effet domino - si le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent !

💡 Astuce : Pense à la récurrence comme une transmission héréditaire - la propriété se transmet naturellement d'un entier à son successeur.

Premier exemple concret : formule explicite d'une suite

Prenons la suite définie par u₀ = 1 et u_{m+1} = u_m/$1+u_m$. On veut démontrer que u_m = 1/$m+1$ pour tout m ∈ ℕ.

Initialisation : Pour m = 0, on a u₀ = 1 et 1/(0+1) = 1. Donc P₀ est vraie.

Hérédité : Supposons u_m = 1/$m+1$. Alors u_{m+1} = u_m/$1+u_m$ = $1/(m+1)$/$1 + 1/(m+1)$. En simplifiant cette fraction, on obtient u_{m+1} = 1/$m+2$.

La formule est donc bien héréditaire, et on conclut que u_m = 1/$m+1$ pour tout m ∈ ℕ.

💡 Méthode : Dans l'étape d'hérédité, utilise toujours la relation de récurrence de la suite et l'hypothèse de récurrence pour calculer u_{m+1}.

Démontrer une inégalité par récurrence

Voici une suite définie par u₀ = -1 et u_{m+1} = 0,2u_m + 0,6. Tu peux prouver que u_m ≤ 1 pour tout m ∈ ℕ.

Initialisation : u₀ = -1 et -1 ≤ 1, donc P₀ est vraie.

Hérédité : Si u_m ≤ 1, alors 0,2u_m ≤ 0,2 × 1 = 0,2. Donc u_{m+1} = 0,2u_m + 0,6 ≤ 0,2 + 0,6 = 0,8 ≤ 1.

L'inégalité se transmet bien d'un rang au suivant, donc u_m ≤ 1 pour tout m ∈ ℕ.

💡 Attention : Pour les inégalités, fais bien attention au sens quand tu multiplies par un nombre négatif !

Suites majorées, minorées et bornées

Une suite est majorée s'il existe un nombre M tel que u_m ≤ M pour tout m. Une suite est minorée s'il existe un nombre m tel que u_m ≥ m pour tout m.

Quand une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée. C'est comme si elle évoluait dans une "boîte" délimitée par ses bornes.

Exemple : la suite u_m = 1 + 2/m pour m ≥ 1. Puisque 2/m ≤ 2, on a u_m ≤ 3 (majorée). Puisque 2/m ≥ 0, on a u_m ≥ 1 (minorée). Cette suite est donc bornée entre 1 et 3.

Attention : il peut exister plusieurs majorants pour une même suite. Si 3 est un majorant, alors 4, 7 ou √13 le sont aussi !

💡 Remarque : Certaines suites comme v_m = (-2)^m ne sont ni majorées ni minorées car elles oscillent vers l'infini.

Autre exemple avec une suite géométrique modifiée

Considérons u₁ = 1 et u_{m+1} = 2u_m + 1 pour m ≥ 1. On veut prouver que u_m = 2^m - 1.

Initialisation : u₁ = 1 et 2¹ - 1 = 1, donc P₁ est vraie.

Hérédité : Si u_m = 2^m - 1, alors u_{m+1} = 2u_m + 1 = 2$2^m - 1$ + 1 = 2^{m+1} - 2 + 1 = 2^{m+1} - 1.

Cette suite croît très rapidement ! La formule explicite u_m = 2^m - 1 est donc bien vérifiée pour tout m ≥ 1.

💡 Calcul : Pour ce type de suite, développe bien l'expression u_{m+1} en utilisant la relation de récurrence et l'hypothèse.

Démontrer une inégalité exponentielle

Prouvons que 2^m > m pour tout m ≥ 1. C'est un classique qui montre la croissance exponentielle !

Initialisation : 2¹ = 2 > 1, donc P₁ est vraie.

Hérédité : Si 2^m > m, alors 2^{m+1} = 2 × 2^m > 2m. Il nous suffit de montrer que 2m > m+1, ce qui est équivalent à m > 1 (toujours vrai pour m ≥ 1).

Cette démonstration illustre parfaitement pourquoi les fonctions exponentielles finissent toujours par dépasser les fonctions linéaires !

💡 Stratégie : Pour les inégalités avec des exponentielles, utilise souvent le fait que multiplier par 2 fait croître plus vite qu'ajouter 1.

Exemple avec une suite arithmético-géométrique

Soit la suite définie par u₀ = 3 et u_{m+1} = 0,2u_m + 4. On veut démontrer que u_m ≤ 10.

Initialisation : u₀ = 3 ≤ 10, donc P₀ est vraie.

Hérédité : Si u_m ≤ 10, alors 0,2u_m ≤ 2, donc u_{m+1} = 0,2u_m + 4 ≤ 2 + 4 = 6 ≤ 10.

Cette suite est donc majorée par 10. En fait, elle converge vers 5 car c'est une suite arithmético-géométrique !

💡 Note : Les suites de la forme u_{n+1} = au_n + b avec |a| < 1 sont souvent bornées et convergentes.

Démontrer un encadrement avec une racine

Considérons v₀ = 0 et v_{m+1} = √$0,5v_m + 8$. Prouvons que 0 ≤ v_m ≤ 4.

Initialisation : v₀ = 0 et 0 ≤ 0 ≤ 4, donc P₀ est vraie.

Hérédité : Si 0 ≤ v_m ≤ 4, alors 0 ≤ 0,5v_m ≤ 2, donc 8 ≤ 0,5v_m + 8 ≤ 10. En prenant la racine : √8 ≤ v_{m+1} ≤ √10. Puisque √8 > 0 et √10 < 4, on a bien 0 ≤ v_{m+1} ≤ 4.

Cette suite est donc bornée entre 0 et 4. Les fonctions racines créent souvent des suites qui se "calment" rapidement !

💡 Technique : Avec des racines carrées, utilise le fait que la fonction racine est croissante sur [0,+∞[.

Les suites monotones

Une suite est croissante si u_m ≤ u_{m+1} pour tout m. Elle est décroissante si u_{m+1} ≤ u_m pour tout m.

Quand une suite est soit croissante, soit décroissante, on dit qu'elle est monotone. C'est une propriété fondamentale pour étudier la convergence des suites.

Pour déterminer la monotonie, tu peux étudier le signe de u_{m+1} - u_m ou comparer le quotient u_{m+1}/u_m à 1 (si les termes sont positifs).

💡 Méthode : Combine souvent récurrence et monotonie pour prouver qu'une suite converge vers une limite précise.

Démonstration de majoration d'une suite

Soit u₀ = 2 et u_{m+1} = 1 + 1/u_m pour tout m. Démontrons par récurrence que u_m ≥ 2.

Initialisation : u₀ = 2 ≥ 2, donc P₀ est vraie.

Hérédité : Si u_m ≥ 2, alors 1/u_m ≤ 1/2 $car la fonction inverse est décroissante sur ]0,+∞[$. Donc u_{m+1} = 1 + 1/u_m ≤ 1 + 1/2 = 3/2... Wait, ça ne marche pas !

En fait, il faut plutôt dire : si u_m ≥ 2, alors 1/u_m > 0, donc u_{m+1} = 1 + 1/u_m > 1. Pour montrer u_{m+1} ≥ 2, il faut une approche différente selon la nature de cette suite.

💡 Attention : Fais toujours attention au sens des inégalités, surtout avec la fonction inverse !