Mathématiques : Cours et Exercices Corrigés en Trigonométrie

Le cercle trigonométrique et l'enroulement

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé direct. Son périmètre vaut exactement 2π, ce qui va nous servir pour tout le reste.

L'idée géniale, c'est qu'on "enroule" la droite des nombres réels autour de ce cercle. Chaque nombre réel x correspond à un point M unique sur le cercle. Et voici le truc important : si M est l'image de x, alors M est aussi l'image de x + 2π, x + 4π, x - 2π, etc.

Les mesures en radians remplacent les degrés. Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radian d'un angle égale la longueur de l'arc correspondant. Par exemple, 90° = π/2 radians, 180° = π radians.

💡 Astuce : Retiens que π ≈ 3,14, donc π/2 ≈ 1,57. C'est plus concret que de rester dans l'abstrait !

Cosinus et sinus d'un réel

Pour un point M sur le cercle trigonométrique correspondant au réel x, on définit :

• cos x = abscisse de M (coordonnée horizontale)
• sin x = ordonnée de M (coordonnée verticale)

Les valeurs particulières à connaître absolument forment ce tableau :

• cos 0 = 1, sin 0 = 0
• cos π/6 = √3/2, sin π/6 = 1/2
• cos π/4 = √2/2, sin π/4 = √2/2
• cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
• cos π/2 = 0, sin π/2 = 1

Les propriétés fondamentales à retenir : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1, plus la relation de Pythagore (cos x)² + (sin x)² = 1. Les fonctions sont périodiques de période 2π.

💡 Méthode : Pour retrouver sin π/3 ou cos π/6, utilise toujours (cos x)² + (sin x)² = 1 !

Représentation graphique des fonctions

La fonction cosinus a une courbe en forme de vague qui oscille entre -1 et 1. Elle est paire : cos$-x$ = cos x, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction sinus a aussi une forme de vague, mais elle est impaire : sin$-x$ = -sin x. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Les deux fonctions sont périodiques de période 2π, ce qui signifie que leurs courbes se répètent identiquement tous les 2π. La courbe du sinus ressemble à celle du cosinus décalée de π/2 vers la droite.

💡 Visualisation : Imagine une roue qui tourne : la hauteur d'un point donne le sinus, sa position horizontale donne le cosinus !

Plan du chapitre

Ce résumé couvre les bases essentielles :

Les concepts clés : cercle trigonométrique, enroulement de la droite réelle, mesure en radians, puis les définitions du cosinus et sinus.

Les outils pratiques : valeurs particulières à mémoriser, propriétés des fonctions (parité, périodicité), et représentations graphiques.

La suite du chapitre aborde la résolution graphique d'équations et d'inéquations trigonométriques, puis des exercices d'application.

💡 Organisation : Maîtrise d'abord le cercle et les valeurs particulières avant de passer aux équations !

Résolution graphique d'équations avec cosinus

Pour résoudre cos x = 1/2 sur $-π, π$, tu cherches les points du cercle trigonométrique d'abscisse 1/2. Tu trouves x = π/3 et x = -π/3.

Pour l'inéquation cos x ≥ 1/2, tu identifies la zone du cercle où l'abscisse est supérieure ou égale à 1/2. Sur la courbe, c'est l'intervalle $-π/3, π/3$.

Avec cos x = -√3/2, les solutions sont x = 5π/6 et x = -5π/6. L'inéquation cos x ≤ -√3/2 donne les intervalles où la courbe est sous la droite y = -√3/2.

💡 Double vérification : Utilise toujours le cercle ET la courbe pour vérifier tes réponses !

Résolution graphique d'équations avec sinus

Pour sin x = √2/2, tu cherches les points du cercle d'ordonnée √2/2. Les solutions sont x = π/4 et x = 3π/4 sur $-π, π$.

L'inéquation sin x ≥ √2/2 correspond à l'arc du cercle où l'ordonnée est au-dessus de √2/2, soit l'intervalle $π/4, 3π/4$.

Pour sin x = -1/2, tu obtiens x = -π/6 et x = -5π/6. L'inéquation sin x ≤ -1/2 donne l'intervalle $-5π/6, -π/6$.

💡 Astuce visuelle : Pour les inéquations avec sinus, regarde la "hauteur" des points sur le cercle !

Cas particuliers et méthodes avancées

cos x = 0 correspond aux points du cercle sur l'axe vertical : x = π/2 et x = -π/2. L'inéquation cos x ≤ 0 donne les zones "gauche" du cercle.

Pour cos x = √2/2, les solutions sont x = π/4 et x = -π/4. L'inéquation cos x ≥ √2/2 correspond à l'intervalle $-π/4, π/4$.

Ces exercices montrent l'importance de bien visualiser le cercle trigonométrique et de faire le lien avec la courbe représentative.

💡 Stratégie : Commence toujours par placer la valeur sur le cercle, puis traduis sur la courbe !

Exercices avec intervalles ouverts

Les exercices avec des intervalles comme ]-π, π[ (ouvert) demandent plus d'attention aux bornes. Pour sin x = -√2/2, tu exclus les valeurs exactement égales à -π et π.

La résolution suit la même méthode : cercle trigonométrique puis vérification sur la courbe. L'inéquation sin x > -√2/2 donne un intervalle ouvert.

Ces exercices préparent aux cas plus complexes où les bornes de l'intervalle peuvent être incluses ou exclues selon le contexte.

💡 Attention aux détails : Les crochets [ ] incluent la valeur, les parenthèses ( ) l'excluent !

Calculs avec la relation fondamentale

Quand tu connais cos x et le signe de sin x, utilise (cos x)² + (sin x)² = 1 pour trouver sin x. Exemple : si cos x = 0,4 et sin x < 0, alors (sin x)² = 1 - 0,16 = 0,84, donc sin x = -√0,84 ≈ -0,92.

Le placement sur le cercle t'aide à déterminer dans quel quadrant tu te trouves. Quadrant I : cos > 0 et sin > 0, Quadrant II : cos < 0 et sin > 0, etc.

La méthode est toujours la même : calcul avec Pythagore, puis application du signe selon le quadrant.

💡 Méthode infaillible : Calcule d'abord la valeur absolue, puis applique le bon signe selon le quadrant !

Applications numériques

Ces exercices concrets montrent comment appliquer la relation (cos x)² + (sin x)² = 1 dans tous les cas de figure.

Exemple type : sin x = 0,8 et cos x > 0 donne (cos x)² = 1 - 0,64 = 0,36, donc cos x = 0,6 (positif). Pour sin x = -0,3 et cos x < 0, on trouve cos x = -√0,91 ≈ -0,95.

Ces calculs renforcent ta compréhension du cercle trigonométrique et te préparent aux exercices plus complexes.

💡 Conseil pratique : Garde toujours ta calculatrice pour vérifier tes approximations décimales !