Exercices Flash - Mise en Route

Les variables aléatoires transforment les résultats d'une expérience de hasard en nombres. C'est comme donner une valeur chiffrée à chaque possibilité !

Prends l'exemple du jeu avec deux pièces : tu gagnes 2€ par pile et perds 1€ par face. Les gains possibles sont -2€ (deux faces), +1€ (une pile, une face) ou +4€ (deux piles). Chaque résultat a sa probabilité : P(-2€) = 1/4, P(+1€) = 1/2, P(+4€) = 1/4.

Pour qu'un tableau soit une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités doit égaler 1. C'est ta première vérification à faire !

💡 Astuce : Pour trouver une probabilité manquante, calcule 1 moins la somme des autres probabilités.

Modélisation avec les Variables Aléatoires

Tu vas maintenant créer tes propres lois de probabilité à partir de situations concrètes. C'est là que ça devient passionnant !

Avec un dé tétraédrique (4 faces), si X représente le double du nombre obtenu, alors X prend les valeurs {2, 4, 6, 8} avec chacune une probabilité de 1/4. Pour l'inverse du nombre, X prend les valeurs {1, 1/2, 1/3, 1/4}.

Les jeux de cartes offrent des exemples riches. Dans un jeu de tarot (78 cartes), chaque carte a une valeur en points différente. Tu dois compter combien de cartes donnent chaque valeur, puis diviser par 78.

💡 Astuce : Dresse toujours la liste complète des valeurs possibles avant de calculer les probabilités.

Applications Pratiques et Algorithmes

Les variables aléatoires modélisent parfaitement les situations de la vie quotidienne. Que ce soit pour un club d'aviron qui fixe ses tarifs ou une biscuiterie qui varie ses prix selon les ingrédients.

L'algorithme de prix de la biscuiterie est un excellent exemple : prix de base 2,5€, +1€ pour le chocolat noir, +0,5€ pour le chocolat blanc ou les noisettes. Tu obtiens 6 types de cookies avec des prix de 3€ à 4€.

Pour la planche de Galton, chaque choix droite/gauche a une probabilité 1/2. Le nombre final correspond au nombre de fois où la bille va à droite. C'est un modèle mathématique du hasard pur !

💡 Astuce : Dessine toujours un arbre de probabilité pour visualiser les chemins possibles.

Espérance, Variance et Écart-type

L'espérance E(X) représente la moyenne qu'on obtiendrait sur un très grand nombre d'expériences. C'est ton "gain moyen" théorique.

Pour calculer E(X), tu multiplies chaque valeur par sa probabilité et tu additionnes : E(X) = Σ$xi × P(X = xi)$. La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne : V(X) = Σ$P(X = xi) × (xi - E(X))²$.

L'écart-type σ(X) = √V(X) s'exprime dans la même unité que X. Plus il est grand, plus les résultats sont dispersés.

Un jeu est équitable quand E(X) = 0. Pour le dé à 6 faces où tu gagnes 3€ avec un diviseur de 6 (1, 2, 3, 6), la probabilité de gain est 4/6 = 2/3. La mise équitable est donc 3 × 2/3 = 2€.

💡 Astuce : L'espérance te dit si un jeu est favorable, défavorable ou équitable sur le long terme.

Calculs Avancés et Interprétations

Les calculs d'espérance et de variance deviennent plus complexes avec des distributions variées, mais le principe reste le même.

Pour une cible avec zones concentriques, la probabilité d'atteindre chaque zone est proportionnelle à sa surface. Zone rouge (rayon 10cm) : surface = π × 10² = 100π cm². Zone orange (couronne, rayon 30cm) : surface = π × 30² - π × 10² = 800π cm².

Dans les problèmes de transport comme celui de Camille et son bus, tu peux établir des relations entre variables. Si T = 20 + 3S $20 minutes de base + 3 minutes par arrêt$, alors E(T) = 20 + 3E(S).

💡 Astuce : Les relations linéaires entre variables permettent de calculer facilement de nouvelles espérances.

Modélisation de Situations Complexes

Tu vas maintenant appliquer tes connaissances à des contextes professionnels réalistes comme les assurances, les magasins en ligne, ou les jeux de fête foraine.

Pour le magasin de courses en ligne, si X représente le nombre de sacs et que chaque client paie 70€ + 0,30€ par sac, alors T = 70 + 0,3X. Avec E(X) calculé, tu obtiens E(T) = 70 + 0,3E(X).

Les roues de kermesse illustrent parfaitement la notion de jeu équitable. Pour la roue R1 : mise 1,50€, gain 8€ avec probabilité 2/12. L'espérance est (2/12) × 8 + (10/12) × 0 - 1,50 = -0,17€. Le jeu est défavorable !

La coccinelle qui se déplace aléatoirement montre comment modéliser des processus stochastiques simples. À chaque intersection, elle choisit au hasard sa direction.

💡 Astuce : Compare toujours l'espérance à zéro pour savoir si une situation est favorable, défavorable ou équitable.

Synthèse - Objectif Bac

Ces exercices de synthèse combinent tous les concepts vus : arbres de probabilité, calculs d'espérance, et interprétation des résultats.

Le jeu de la bille qui roule vers une cible illustre parfaitement les probabilités conditionnelles. P(atteindre cible) = 0,3, P(avalée | cible atteinte) = 0,2. Donc P(avalée) = 0,3 × 0,2 = 0,06.

Pour l'assurance avec trois catégories de sinistres, tu dois trouver la cotisation équitable. Avec P(A) = 0,5, P(B) = 0,35, P(C) = 0,15 et remboursements 100€, 500€, 1500€, l'espérance du remboursement est 0,5×100 + 0,35×500 + 0,15×1500 = 450€.

💡 Astuce : Les exercices de bac mélangent souvent probabilités conditionnelles et variables aléatoires. Dessine toujours un arbre !

Applications Professionnelles

Les variables aléatoires sont essentielles dans le monde professionnel, notamment pour les actuaires qui calculent les risques dans les assurances.

La tombola de la Maison des lycéens montre comment calculer la rentabilité d'un événement. Avec 1300 billets vendus à 2€ et des lots totalisant 1088€, le bénéfice est 2600 - 1088 = 1512€.

L'usine avec défauts A et B illustre le coût de revient. Objet normal : 150€, défaut A : +30€, défaut B : +40€, les deux : +70€. Avec les probabilités données, E(coût) = 150 + 0,15×30 + 0,07×40 + 0,03×70 = 160,6€.

La roulette européenne (37 cases) démontre pourquoi les casinos gagnent toujours. Pour un pari "plein" à 10€ sur un numéro, E(gain) = (1/37)×350 + (36/37)×(-10) = -0,27€. La maison a toujours un avantage !

💡 Astuce : L'"avantage de la maison" correspond à l'espérance négative pour le joueur.

Programmation et Approfondissements

La programmation Python permet de simuler et calculer efficacement avec les variables aléatoires. Les listes stockent les valeurs et probabilités, les boucles calculent espérance et variance.

Le programme de comptage de la lettre E illustre l'application des fréquences en linguistique. La méthode replace() élimine la ponctuation pour ne compter que les lettres. En français, le E représente environ 14% des caractères.

Les exercices d'approfondissement comme la formule de König-Huygens $Var(X) = E(X²) - [E(X)]²$ montrent les liens profonds entre les concepts. Cette formule simplifie souvent les calculs de variance.

💡 Astuce : La programmation te permet de vérifier tes calculs théoriques par simulation.

Club de Maths et Défis

La formule de König-Huygens se démontre en développant $xi - E(X)$² puis en utilisant la linéarité de la somme. Cette formule relie variance, espérance et espérance du carré.

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg pose une question fascinante : quelle mise accepter pour un jeu où le gain double à chaque pile jusqu'à obtenir face ? Mathématiquement, l'espérance est infinie, mais intuitivement, on ne misera pas une fortune !

Pour le QCM avec 3 questions (4 choix chacune), une bonne réponse rapporte n points, une mauvaise enlève 1 point. En répondant au hasard, P(bonne réponse) = 1/4. Pour une espérance de 1,5 point : 3 × $(1/4)n - (3/4)$ = 1,5, donc n = 4.

💡 Astuce : Les paradoxes mathématiques montrent les limites de l'intuition face au calcul rigoureux.