Fonctions linéaires : Définition et représentation

Une fonction linéaire est une fonction qui, à un nombre x, associe le produit de ce nombre par un coefficient a. On l'écrit mathématiquement : f(x) = ax.

Pour reconnaître une fonction linéaire, vérifiez si elle a la forme "ax" exactement. Par exemple, f(x) = -5x est linéaire avec un coefficient -5, mais g(x) = 3+x ou k(x) = 4x² ne sont pas des fonctions linéaires. Attention, f(x) = x/2 est bien une fonction linéaire car on peut l'écrire f(x) = (1/2)x.

Dans un repère, une fonction linéaire est toujours représentée par une droite passant par l'origine. Le coefficient a détermine l'inclinaison de cette droite, qu'on appelle aussi coefficient directeur. Si a > 0, la droite monte (croissante); si a < 0, la droite descend (décroissante); et si a = 0, la droite se confond avec l'axe des abscisses.

💡 Astuce : Pour trouver le coefficient d'une fonction linéaire à partir de sa représentation graphique, il suffit de repérer un point de la droite (autre que l'origine) et de calculer le rapport entre son ordonnée et son abscisse.

Applications et pourcentages

Pour déterminer le coefficient d'une fonction linéaire, on peut utiliser un point connu. Par exemple, si f(2) = 1, alors a × 2 = 1, donc a = 0,5 et la fonction s'écrit f(x) = 0,5x.

Les fonctions linéaires sont très utiles pour modéliser des pourcentages. Voici comment ça marche :

• Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par $1 + t/100$. Cette augmentation est représentée par la fonction linéaire f(x) = $1 + t/100$x.
• Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par $1 - t/100$. Cette diminution correspond à la fonction linéaire f(x) = $1 - t/100$x.

Par exemple, pour calculer un loyer de 520€ qui augmente de 1,5%, on multiplie 520 par 1,015 $car 1 + 1,5/100 = 1,015$, ce qui donne 527,80€. À l'inverse, si un article passe de 112€ à 97€, on peut trouver le pourcentage de réduction en calculant le coefficient a = 97/112 ≈ 0,86, ce qui correspond à une réduction de 14%.

⚠️ Attention : Ne confondez pas le coefficient décimal avec le pourcentage ! Pour passer de 0,86 à -14%, on calcule (0,86 - 1) × 100 = -14%.