Définition et propriétés de l'homothétie

L'homothétie est une transformation géométrique fondamentale en mathématiques. Elle permet d'agrandir ou de réduire une figure en faisant glisser ses points le long de droites passant par un centre fixe.

Définition: Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k. Elle transforme une figure en l'agrandissant ou la réduisant tout en conservant sa forme.

Les propriétés de l'homothétie dépendent de son rapport :

• Si k > 1, il y a agrandissement
• Si 0 < k < 1, il y a réduction
• Si k = 1, la figure reste inchangée
• Si k < 0, il y a symétrie centrale suivie d'un agrandissement (si |k| > 1) ou d'une réduction (si |k| < 1)

Exemple: Pour construire l'image d'un rectangle par une homothétie de rapport 3, on multiplie toutes les distances au centre par 3.

Highlight: La homothétie conserve la forme, l'alignement et les angles de la figure d'origine.

Construction et applications de l'homothétie

La construction d'une figure par homothétie nécessite de bien comprendre le concept de rapport. Voici un exemple concret :

Exemple: Pour construire l'image d'un triangle par une homothétie de rapport -2/3, on multiplie toutes les distances au centre par 2/3, puis on effectue une symétrie centrale.

Cette transformation a des applications importantes :

• En géométrie, pour étudier les figures semblables
• En cartographie, pour réaliser des cartes à différentes échelles
• En arts visuels, pour créer des effets de perspective

Vocabulaire: Le rapport d'homothétie est le facteur par lequel on multiplie les longueurs de la figure d'origine.

Highlight: Dans une homothétie de rapport k > 0, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², et les volumes par k³.

Ces propriétés font de l'homothétie un outil puissant pour résoudre des problèmes géométriques et comprendre les relations entre figures similaires de tailles différentes.