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Nilla Roland-Manuel
02/12/2025
Maths
maths-limites et comparaison
154
•
2 déc. 2025
•
Nilla Roland-Manuel
@nillarolandmanuel_sjhu
Les limites de suites sont un concept clé en mathématiques.... Affiche plus
Imaginez que vous voulez prouver qu'une suite part vers l'infini sans calculer directement sa limite. Les théorèmes de comparaison sont parfaits pour ça ! Ils permettent de déterminer le comportement d'une suite en la comparant à une autre dont on connaît déjà la limite.
Le principe est simple : si pour tout n ≥ N, on a Un ≤ Vn, alors on peut tirer des conclusions sur leurs limites. Le théorème de minoration dit que si lim Un = +∞, alors lim Vn = +∞ aussi. Inversement, le théorème de majoration nous dit que si lim Vn = -∞, alors lim Un = -∞.
Prenons l'exemple de Un = /. En encadrant cette expression entre / et /, on montre facilement que la limite est +∞.
💡 Astuce : Ces théorèmes évitent souvent des calculs compliqués en se contentant d'encadrements intelligents !
Le théorème des gendarmes est l'un des outils les plus élégants en mathématiques ! Si une suite Vn est "prise en sandwich" entre deux suites Un et Wn qui convergent vers la même limite l, alors Vn converge aussi vers l.
Concrètement : si Un ≤ Vn ≤ Wn pour tout n ≥ N et que lim Un = lim Wn = l, alors lim Vn = l. C'est comme si les deux "gendarmes" Un et Wn forçaient Vn à aller vers la même destination !
L'exemple classique avec Vn = / illustre parfaitement cette technique. On encadre cos n entre -1 et 1, puis on manipule l'inégalité pour obtenir deux suites qui convergent vers 1.
💡 Astuce : Ce théorème est particulièrement utile quand la suite contient des fonctions oscillantes comme cos ou sin !
Les suites monotones ont une propriété remarquable : si elles sont bornées, elles convergent forcément ! Une suite croissante et majorée converge vers un réel l ≤ M, tandis qu'une suite décroissante et minorée converge vers un réel l ≥ M.
L'inégalité de Bernoulli est un résultat fondamental : pour tout réel α ≥ 0 et tout entier n, on a (1 + α)ⁿ ≥ 1 + nα. Cette inégalité se démontre par récurrence et s'avère très utile pour étudier les suites de puissances.
La démonstration par récurrence suit le schéma classique : initialisation pour n = 0, puis hérédité en multipliant l'hypothèse par (1 + α) > 0.
💡 Astuce : L'inégalité de Bernoulli permet souvent de minorer des expressions avec des puissances pour appliquer ensuite les théorèmes de comparaison !
Les suites géométriques de la forme qⁿ ont des comportements très prévisibles selon la valeur de la raison q. C'est un résultat à connaître par cœur car il revient constamment !
Voici les cas possibles : si |q| < 1, alors lim qⁿ = 0. Si q = 1, la suite est constante et lim qⁿ = 1. Si q > 1, alors lim qⁿ = +∞. Enfin, si q ≤ -1, la suite n'a pas de limite car elle oscille.
La démonstration utilise l'inégalité de Bernoulli pour le cas q > 1, en écrivant q = 1 + α avec α > 0. Pour le cas -1 < q < 1, on distingue trois sous-cas selon le signe de q.
L'exemple avec Un = -5 × 7ⁿ illustre le cas q > 1 : comme 7 > 1, on a lim 7ⁿ = +∞, donc lim Un = -∞.
💡 Astuce : Retenez que le comportement d'une suite géométrique ne dépend que de |q| par rapport à 1 !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Nilla Roland-Manuel
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Les limites de suites sont un concept clé en mathématiques. Vous allez découvrir des outils puissants pour analyser le comportement des suites : les théorèmes de comparaison et des gendarmes, ainsi que l'étude des suites monotones et géométriques.
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