Théorèmes de comparaison et limites

Imaginez que vous voulez prouver qu'une suite part vers l'infini sans calculer directement sa limite. Les théorèmes de comparaison sont parfaits pour ça ! Ils permettent de déterminer le comportement d'une suite en la comparant à une autre dont on connaît déjà la limite.

Le principe est simple : si pour tout n ≥ N, on a Un ≤ Vn, alors on peut tirer des conclusions sur leurs limites. Le théorème de minoration dit que si lim Un = +∞, alors lim Vn = +∞ aussi. Inversement, le théorème de majoration nous dit que si lim Vn = -∞, alors lim Un = -∞.

Prenons l'exemple de Un = $n² + (-1)ⁿ$/$n + 5$. En encadrant cette expression entre $n² - 1$/$n + 5$ et $n² + 1$/$n + 5$, on montre facilement que la limite est +∞.

💡 Astuce : Ces théorèmes évitent souvent des calculs compliqués en se contentant d'encadrements intelligents !

Le théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes est l'un des outils les plus élégants en mathématiques ! Si une suite Vn est "prise en sandwich" entre deux suites Un et Wn qui convergent vers la même limite l, alors Vn converge aussi vers l.

Concrètement : si Un ≤ Vn ≤ Wn pour tout n ≥ N et que lim Un = lim Wn = l, alors lim Vn = l. C'est comme si les deux "gendarmes" Un et Wn forçaient Vn à aller vers la même destination !

L'exemple classique avec Vn = $n + cos n$/$n + 3$ illustre parfaitement cette technique. On encadre cos n entre -1 et 1, puis on manipule l'inégalité pour obtenir deux suites qui convergent vers 1.

💡 Astuce : Ce théorème est particulièrement utile quand la suite contient des fonctions oscillantes comme cos ou sin !

Suites monotones et inégalité de Bernoulli

Les suites monotones ont une propriété remarquable : si elles sont bornées, elles convergent forcément ! Une suite croissante et majorée converge vers un réel l ≤ M, tandis qu'une suite décroissante et minorée converge vers un réel l ≥ M.

L'inégalité de Bernoulli est un résultat fondamental : pour tout réel α ≥ 0 et tout entier n, on a (1 + α)ⁿ ≥ 1 + nα. Cette inégalité se démontre par récurrence et s'avère très utile pour étudier les suites de puissances.

La démonstration par récurrence suit le schéma classique : initialisation pour n = 0, puis hérédité en multipliant l'hypothèse par (1 + α) > 0.

💡 Astuce : L'inégalité de Bernoulli permet souvent de minorer des expressions avec des puissances pour appliquer ensuite les théorèmes de comparaison !

Suites géométriques et leurs limites

Les suites géométriques de la forme qⁿ ont des comportements très prévisibles selon la valeur de la raison q. C'est un résultat à connaître par cœur car il revient constamment !

Voici les cas possibles : si |q| < 1, alors lim qⁿ = 0. Si q = 1, la suite est constante et lim qⁿ = 1. Si q > 1, alors lim qⁿ = +∞. Enfin, si q ≤ -1, la suite n'a pas de limite car elle oscille.

La démonstration utilise l'inégalité de Bernoulli pour le cas q > 1, en écrivant q = 1 + α avec α > 0. Pour le cas -1 < q < 1, on distingue trois sous-cas selon le signe de q.

L'exemple avec Un = -5 × 7ⁿ illustre le cas q > 1 : comme 7 > 1, on a lim 7ⁿ = +∞, donc lim Un = -∞.

💡 Astuce : Retenez que le comportement d'une suite géométrique ne dépend que de |q| par rapport à 1 !