Limites de suites et de fonctions
Tu vas voir, comprendre les limites de suites c'est plus simple qu'il n'y paraît ! Une suite u a pour limite l quand tous ses termes finissent par se rapprocher autant qu'on veut de cette valeur l. Si la limite est un nombre réel, on dit que la suite converge, sinon elle diverge.
Le théorème des gendarmes est ton meilleur ami pour prouver qu'une suite converge. Si tu as trois suites u, v, w avec u_n ≤ v_n ≤ w_n, et que u et w convergent vers la même limite l, alors v converge aussi vers l ! C'est comme si v était "coincée" entre les deux autres.
Pour les suites monotones, c'est encore plus direct : une suite croissante et majorée converge toujours, tandis qu'une suite croissante non majorée tend vers +∞. Les suites adjacentes (une croît, l'autre décroît, leur différence tend vers 0) convergent forcément vers la même limite.
Astuce pratique : Le théorème des gendarmes est parfait pour les exercices où tu dois prouver qu'une suite compliquée a une limite !
Les limites de fonctions fonctionnent selon le même principe que les suites. Quand x tend vers +∞, f(x) peut tendre vers un réel l, vers +∞ ou vers -∞. Le théorème des gendarmes s'applique aussi aux fonctions, et les comparaisons de fonctions te donnent des info sur leurs limites respectives.