Les limites et leurs propriétés essentielles
Quand tu calcules des limites, tu vas parfois tomber sur des formes indéterminées comme 00, 0×∞, ou +∞−∞. Ces expressions n'ont pas de valeur définie directement - c'est là que les techniques de calcul de limites deviennent cruciales !
Le théorème d'encadrement est ton meilleur ami pour les cas compliqués. Si tu as trois suites un≤wn≤vn et que (un) et (vn) convergent vers la même limite, alors (wn) converge aussi vers cette limite. C'est comme être coincé entre deux personnes qui vont au même endroit - tu finiras forcément là aussi.
Pour les suites convergentes, retiens ces règles d'or : une suite croissante et majorée converge toujours, tout comme une suite décroissante et minorée. Ces critères te permettront de prouver la convergence sans calculer la limite exacte.
Astuce pratique : Pour vérifier qu'une suite converge, cherche d'abord si elle est monotone (croissante ou décroissante), puis vérifie si elle est bornée.
Les limites usuelles sont à connaître par cœur. Quand x→+∞ : xn→+∞, x1→0. Quand x→0+ : x1→+∞, mais attention, quand x→0− : x1→−∞.
Enfin, la croissance comparée te donne la hiérarchie des fonctions : ex domine toujours xn, qui domine ln(x) quand x→+∞. Cette règle résout beaucoup de formes indéterminées !