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Mathématiques

Fonctions logarithmiques et exponentielles

Logarithmes

Maths329Mis à jour 23 sept. 20264 pages

Mathématiques - Introduction au Logarithme

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loulau@looulau
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Les logarithmes peuvent sembler compliqués au premier regard, mais ils suivent des règles logiques qui facilitent grandement les calculs. Ce contrôle de maths te montre les formules essentielles et comment les appliquer dans des exercices concrets.
maths -> logarithme – page 1

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Formules fondamentales des logarithmes

Tu dois absolument maîtriser ces trois formules de base pour réussir tes exercices de logarithmes. Elles vont te permettre de transformer des calculs complexes en opérations plus simples.

La multiplication devient une addition : log(a×b) = logaa + logbb. La puissance se transforme en multiplication : log(aᵐ) = m × logaa. Et la division devient une soustraction : log(a/b) = logaa - logbb.

N'oublie pas que log(10) = 1 et log(1) = 0 - ces valeurs particulières reviennent souvent dans les calculs. Avec ces outils, tu peux résoudre des équations comme log(6ˣ) = log(2) en transformant le membre de gauche en x × log(6) = log(2).

💡 Astuce pratique : Quand tu vois une équation avec des logarithmes des deux côtés, tu peux souvent "enlever" les log et travailler directement avec les arguments !

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Applications pratiques : calculs financiers et simplifications

Voici comment utiliser les logarithmes dans un problème de croissance typique. Quand tu as une équation du type 1+t/1001 + t/100⁸ = 1,3, les logarithmes vont te sauver la mise !

En appliquant log aux deux membres, tu obtiens 8 × log1+t/1001 + t/100 = log(1,3). Ensuite, tu isoles le terme recherché : log1+t/1001 + t/100 = log(1,3)/8. En "sortant" du logarithme, tu arrives à t ≈ 3,33%.

Les simplifications d'expressions suivent les mêmes règles. Par exemple : 1 + log(16) = log(10) + log(16) = log(160). Ou encore : 1 - log(5) = log10/510/5 = log(2).

💡 Méthode clé : Transforme toujours les nombres entiers en log(10ⁿ) pour pouvoir appliquer les formules !

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Résolution d'équations logarithmiques complexes

Tu vas souvent tomber sur des équations plus corsées où il faut combiner plusieurs techniques. Prenons 2 log(0,3) + 3 : transforme d'abord en log(0,3²) + log(10³) = log(0,09 × 1000) = log(90).

Pour les équations du type 13ˣ = 9,5, passe par les logarithmes des deux côtés. Tu obtiens x log(13) = log(9,5), donc x = log(9,5)/log(13). Cette technique marche pour toutes les équations exponentielles !

Les équations avec plusieurs termes en x demandent plus d'astuce. Dans 3ˣ = 3²ˣ⁻¹, transforme en x log(3) = 2x−12x-1 log(3). Tu peux diviser par log(3) et résoudre x = 2x - 1, ce qui donne x = 1.

💡 Stratégie gagnante : Face à une équation compliquée, commence toujours par identifier si tu peux appliquer les trois formules de base !

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Techniques de résolution avancées

Cette page reprend les mêmes types d'exercices pour que tu puisses t'entraîner et vérifier ta compréhension. L'expression 2 log(0,3) + 3 se résout exactement comme avant : log(90).

L'équation 13ˣ = 9,5 illustre parfaitement la méthode pour les exponentielles. Retiens bien que x = log(9,5)/log(13) - c'est le schéma type pour résoudre aˣ = b.

Pour 3ˣ = 3²ˣ⁻¹, la clé est de reconnaître que tu peux simplifier par log(3) après avoir pris le logarithme. L'équation devient x = 2x - 1, puis -x = -1, donc x = 1. Simple une fois qu'on a la méthode !

💡 Pour l'examen : Entraîne-toi à reconnaître rapidement quel type d'équation tu as devant toi - ça te fera gagner un temps précieux !

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