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23 nov. 2025

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Produit Scalaire en Maths: Formules et Exercices

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Audrey @audfrst

Le produit scalaire est un outil mathématique super puissant qui te permet de calculer des angles et des... Affiche plus

CHAPITRE 7 *PRODUIT SCALAIRE* ². = || || x 11 √ 11 x cos (α) ath it → ut llall x 11v11 x cos (m) =-11x1111 A suv = 1|ul|x 11 x eps (0) 1111x

Formule principale et cas particuliers

Tu vas adorer le produit scalaire parce que c'est plus simple qu'il n'y paraît ! La formule de base est u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos(α)\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\alpha) où α est l'angle entre les deux vecteurs.

Retiens ces trois cas super importants quand les vecteurs vont dans des directions opposées (α = π), le cosinus vaut -1. Quand ils vont dans la même direction (α = 0), le cosinus vaut 1, donc u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||. Et le plus cool quand ils sont perpendiculaires (α = π/2), le produit scalaire vaut 0 !

Les propriétés de calcul te simplifient la vie le produit scalaire se distribue sur l'addition u⃗.(v⃗+w⃗)=u⃗.v⃗+u⃗.w⃗\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} et tu peux sortir les constantes u⃗.(kv⃗)=ku⃗.v⃗\vec{u}.(k\vec{v}) = k\vec{u}.\vec{v}.

Astuce pratique Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors ils sont forcément perpendiculaires !

Les identités remarquables marchent aussi avec les vecteurs (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗.v⃗+v⃗2(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2. Tu peux utiliser ces formules pour résoudre des problèmes géométriques complexes facilement.

CHAPITRE 7 *PRODUIT SCALAIRE* ². = || || x 11 √ 11 x cos (α) ath it → ut llall x 11v11 x cos (m) =-11x1111 A suv = 1|ul|x 11 x eps (0) 1111x

Projection orthogonale et coordonnées

La projection orthogonale te donne une méthode géniale pour visualiser le produit scalaire. Quand tu projettes le point C sur la droite (AB) au point H, alors AC⃗.AB⃗=AH⃗.AB⃗=AH×AB\vec{AC}.\vec{AB} = \vec{AH}.\vec{AB} = AH \times AB.

Cette technique est super pratique pour calculer des distances et résoudre des problèmes de géométrie. Le produit scalaire te dit exactement quelle "part" d'un vecteur va dans la direction d'un autre.

Dans un repère orthonormé, tout devient encore plus facile ! Si tu as u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y'), alors u⃗.v⃗=xx′+yy′\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'. C'est tout !

Conseil exam Cette formule avec les coordonnées est souvent la plus rapide pour calculer un produit scalaire dans les exercices.

Pour la norme d'un vecteur, tu utilises ∣∣u⃗∣∣2=x2+y2||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2. Cette relation entre produit scalaire et norme est fondamentale - un vecteur au carré, c'est son produit scalaire avec lui-même !

Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Le produit scalaire est un outil mathématique super puissant qui te permet de calculer des angles et des distances entre des vecteurs. C'est un concept clé en géométrie vectorielle que tu vas utiliser dans plein de problèmes de maths et... Affiche plus

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Formule principale et cas particuliers

Tu vas adorer le produit scalaire parce que c'est plus simple qu'il n'y paraît ! La formule de base est : u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos(α)\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\alpha) où α est l'angle entre les deux vecteurs.

Retiens ces trois cas super importants : quand les vecteurs vont dans des directions opposées (α = π), le cosinus vaut -1. Quand ils vont dans la même direction (α = 0), le cosinus vaut 1, donc u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||. Et le plus cool : quand ils sont perpendiculaires (α = π/2), le produit scalaire vaut 0 !

Les propriétés de calcul te simplifient la vie : le produit scalaire se distribue sur l'addition u⃗.(v⃗+w⃗)=u⃗.v⃗+u⃗.w⃗\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} et tu peux sortir les constantes u⃗.(kv⃗)=ku⃗.v⃗\vec{u}.(k\vec{v}) = k\vec{u}.\vec{v}.

Astuce pratique : Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors ils sont forcément perpendiculaires !

Les identités remarquables marchent aussi avec les vecteurs : (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗.v⃗+v⃗2(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2. Tu peux utiliser ces formules pour résoudre des problèmes géométriques complexes facilement.

CHAPITRE 7 *PRODUIT SCALAIRE* ². = || || x 11 √ 11 x cos (α) ath it → ut llall x 11v11 x cos (m) =-11x1111 A suv = 1|ul|x 11 x eps (0) 1111x

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Projection orthogonale et coordonnées

La projection orthogonale te donne une méthode géniale pour visualiser le produit scalaire. Quand tu projettes le point C sur la droite (AB) au point H, alors AC⃗.AB⃗=AH⃗.AB⃗=AH×AB\vec{AC}.\vec{AB} = \vec{AH}.\vec{AB} = AH \times AB.

Cette technique est super pratique pour calculer des distances et résoudre des problèmes de géométrie. Le produit scalaire te dit exactement quelle "part" d'un vecteur va dans la direction d'un autre.

Dans un repère orthonormé, tout devient encore plus facile ! Si tu as u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y'), alors u⃗.v⃗=xx′+yy′\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'. C'est tout !

Conseil exam : Cette formule avec les coordonnées est souvent la plus rapide pour calculer un produit scalaire dans les exercices.

Pour la norme d'un vecteur, tu utilises ∣∣u⃗∣∣2=x2+y2||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2. Cette relation entre produit scalaire et norme est fondamentale - un vecteur au carré, c'est son produit scalaire avec lui-même !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen Blanc Complet ✓ Plans de Dissertation

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4.9/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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