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Maths

26 nov. 2025

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Sofia @sofia.5

La dérivation est un concept clé en mathématiques qui permet d'analyser comment les fonctions évoluent. Elle nous aide... Affiche plus

I nombre desivé et tangente. seient deux points distincts P(xo yo et Q(x₁; y₁) de la courbe représentative de la fonction f, la droite passa

Nombre dérivé et tangente

Lorsque nous étudions une courbe représentative d'une fonction, nous pouvons tracer une sécante qui passe par deux points P et Q de cette courbe. Le coefficient directeur de cette sécante se calcule par la formule msec=f(x1)−f(x0)x1−x0m_{sec} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

Quand le point Q se rapproche du point P, la sécante tend vers une position limite qu'on appelle la tangente à la courbe au point P. Le coefficient directeur de cette tangente correspond à une limite que l'on note mtan=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hm_{tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, où h représente la différence entre les abscisses.

Pour calculer concrètement ce coefficient, on substitue les valeurs dans la formule et on résout la limite. Par exemple, pour la fonction f(x)=x3f(x) = x^3 au point (2;8), on remplace x0x_0 par 2 dans la formule du coefficient directeur.

💡 La tangente à une courbe peut être vue comme la droite qui "effleure" la courbe en un seul point, donnant la meilleure approximation linéaire de la courbe à cet endroit.

I nombre desivé et tangente. seient deux points distincts P(xo yo et Q(x₁; y₁) de la courbe représentative de la fonction f, la droite passa

Calcul pratique du nombre dérivé

Pour résoudre notre exemple précédent avec f(x)=x3f(x) = x^3 au point (2;8), on développe le calcul en remplaçant les valeurs. Après simplification, on obtient m=lim⁡h→0(h2+6h+12)=12m = \lim_{h \to 0} (h^2 + 6h + 12) = 12. Le coefficient directeur de la tangente est donc 12.

Un autre exemple intéressant est le calcul du taux de variation de la fonction f(x)=12x−4f(x) = \frac{1}{2x - 4} au point d'abscisse 4. On commence par calculer f(4)=14f(4) = \frac{1}{4} et f(4+h)=14+2hf(4+h) = \frac{1}{4+2h}. Après plusieurs étapes de simplification, on obtient m=−18+4hm = \frac{-1}{8+4h}.

Quand h tend vers 0, le taux de variation tend vers −18\frac{-1}{8}. Ce processus illustre comment on peut déterminer précisément la pente de la courbe en un point donné.

💡 Le taux de variation est comme une "vitesse de changement" de la fonction. Quand ce taux est constant, la fonction est linéaire; quand il varie, la fonction forme une courbe.

I nombre desivé et tangente. seient deux points distincts P(xo yo et Q(x₁; y₁) de la courbe représentative de la fonction f, la droite passa

Nombre dérivé et tangente la théorie

Quand on observe ce qui se passe lorsque le point B se rapproche du point A sur une courbe, on constate que la sécante AB prend une position limite. Cette position limite est ce qu'on appelle la tangente à la courbe au point A.

Le coefficient directeur de cette tangente correspond exactement au nombre dérivé de la fonction en ce point. On dit qu'une fonction est dérivable au point d'abscisse a si le taux de variation f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h} tend vers une limite finie lorsque h tend vers 0.

Cette limite, notée f′(a)f'(a), est le nombre dérivé de f en a. Il représente concrètement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. C'est un outil puissant qui nous permet de comprendre comment la fonction "évolue" localement.

💡 La dérivabilité en un point signifie que la courbe ne présente ni angle ni interruption en ce point - elle est "lisse" et permet de tracer une unique tangente.

I nombre desivé et tangente. seient deux points distincts P(xo yo et Q(x₁; y₁) de la courbe représentative de la fonction f, la droite passa

Exemples et cas particuliers

Prenons la fonction f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 et calculons son nombre dérivé au point d'abscisse 3. On commence par le taux de variation m=f(3+h)−f(3)hm = \frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Après simplification, on obtient m=6+hm = 6+h. Quand h tend vers 0, la limite vaut 6, donc f′(3)=6f'(3) = 6.

En revanche, la fonction f(x)=xf(x) = \sqrt{x} présente un cas particulier intéressant. En calculant son nombre dérivé au point d'abscisse 0, on obtient m=1hm = \frac{1}{\sqrt{h}}. Quand h tend vers 0 par valeurs positives, cette expression tend vers l'infini.

La limite n'existant pas, la fonction x\sqrt{x} n'est pas dérivable au point d'abscisse 0. Cela signifie que la courbe n'admet pas de tangente en ce point - elle présente une "singularité" sous forme de tangente verticale.

💡 Toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout ! Les points où la dérivée n'existe pas correspondent souvent à des "ruptures" dans le comportement de la fonction (angles, asymptotes verticales, etc.).

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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L'application est-elle vraiment gratuite ?

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Esteban M

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Sudenaz Ocak

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Nombre dérivé et tangente

Lorsque nous étudions une courbe représentative d'une fonction, nous pouvons tracer une sécante qui passe par deux points P et Q de cette courbe. Le coefficient directeur de cette sécante se calcule par la formule msec=f(x1)−f(x0)x1−x0m_{sec} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

Quand le point Q se rapproche du point P, la sécante tend vers une position limite qu'on appelle la tangente à la courbe au point P. Le coefficient directeur de cette tangente correspond à une limite que l'on note : mtan=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hm_{tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, où h représente la différence entre les abscisses.

Pour calculer concrètement ce coefficient, on substitue les valeurs dans la formule et on résout la limite. Par exemple, pour la fonction f(x)=x3f(x) = x^3 au point (2;8), on remplace x0x_0 par 2 dans la formule du coefficient directeur.

💡 La tangente à une courbe peut être vue comme la droite qui "effleure" la courbe en un seul point, donnant la meilleure approximation linéaire de la courbe à cet endroit.

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Calcul pratique du nombre dérivé

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Un autre exemple intéressant est le calcul du taux de variation de la fonction f(x)=12x−4f(x) = \frac{1}{2x - 4} au point d'abscisse 4. On commence par calculer f(4)=14f(4) = \frac{1}{4} et f(4+h)=14+2hf(4+h) = \frac{1}{4+2h}. Après plusieurs étapes de simplification, on obtient m=−18+4hm = \frac{-1}{8+4h}.

Quand h tend vers 0, le taux de variation tend vers −18\frac{-1}{8}. Ce processus illustre comment on peut déterminer précisément la pente de la courbe en un point donné.

💡 Le taux de variation est comme une "vitesse de changement" de la fonction. Quand ce taux est constant, la fonction est linéaire; quand il varie, la fonction forme une courbe.

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Nombre dérivé et tangente : la théorie

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Le coefficient directeur de cette tangente correspond exactement au nombre dérivé de la fonction en ce point. On dit qu'une fonction est dérivable au point d'abscisse a si le taux de variation f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h} tend vers une limite finie lorsque h tend vers 0.

Cette limite, notée f′(a)f'(a), est le nombre dérivé de f en a. Il représente concrètement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. C'est un outil puissant qui nous permet de comprendre comment la fonction "évolue" localement.

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Exemples et cas particuliers

Prenons la fonction f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 et calculons son nombre dérivé au point d'abscisse 3. On commence par le taux de variation m=f(3+h)−f(3)hm = \frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Après simplification, on obtient m=6+hm = 6+h. Quand h tend vers 0, la limite vaut 6, donc f′(3)=6f'(3) = 6.

En revanche, la fonction f(x)=xf(x) = \sqrt{x} présente un cas particulier intéressant. En calculant son nombre dérivé au point d'abscisse 0, on obtient m=1hm = \frac{1}{\sqrt{h}}. Quand h tend vers 0 par valeurs positives, cette expression tend vers l'infini.

La limite n'existant pas, la fonction x\sqrt{x} n'est pas dérivable au point d'abscisse 0. Cela signifie que la courbe n'admet pas de tangente en ce point - elle présente une "singularité" sous forme de tangente verticale.

💡 Toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout ! Les points où la dérivée n'existe pas correspondent souvent à des "ruptures" dans le comportement de la fonction (angles, asymptotes verticales, etc.).

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L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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