Nombres premiers et fractions irréductibles
Ce chapitre aborde trois concepts mathématiques essentiels : les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers, et les fractions irréductibles.
Nombres premiers
Les nombres premiers sont définis comme des entiers positifs ayant exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes.
Exemple: Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Highlight: Il est important de noter que 1 n'est pas considéré comme un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur : lui-même.
Une notion connexe est celle de nombres premiers entre eux. Deux nombres sont dits premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Décomposition en produits de facteurs premiers
Tout nombre entier positif non premier peut être exprimé comme un produit de nombres premiers. Cette expression est appelée décomposition en produits de facteurs premiers et est unique pour chaque nombre.
Définition: La décomposition en facteurs premiers est l'expression d'un nombre sous forme de produit de nombres premiers.
Pour effectuer cette décomposition, on divise successivement le nombre par le plus petit nombre premier possible jusqu'à obtenir un quotient égal à 1. Cette méthode nécessite une bonne connaissance des premiers nombres premiers.
Fractions irréductibles
Une fraction est considérée comme irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Vocabulaire: Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut suivre deux étapes :
- Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
- Simplifier au maximum l'expression de la fraction en supprimant les facteurs identiques.
Exemple: Pour rendre la fraction 24/36 irréductible, on décompose d'abord 24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3². Ensuite, on simplifie en supprimant les facteurs communs : (2³ × 3) / (2² × 3²) = 2 / 3.
Cette méthode permet d'obtenir la forme la plus simple d'une fraction, ce qui est souvent utile dans les calculs mathématiques plus avancés.
