Notion de nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où :

• a et b sont des nombres entiers
• b doit être non nul

Les nombres rationnels peuvent se présenter sous différentes formes :

• Un nombre entier (exemple : $\frac{14}{7} = 2$)
• Un nombre décimal (exemple : $\frac{9}{2} = 4,5$)
• Un nombre dont la division ne se termine jamais (ni entier, ni décimal)

Concept clé : Tous les nombres entiers et décimaux sont des nombres rationnels, mais tous les nombres rationnels ne sont pas forcément des nombres entiers ou décimaux.

Nombre rationnel et signe

Concernant le signe des nombres rationnels :

• Le signe peut se mettre devant le trait de fraction ou devant le numérateur
• Le quotient de deux nombres de même signe est positif
• Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif

Exemples :

• $\frac{-3}{2}$ est équivalent à $\frac{3}{-2}$ (les deux sont négatifs)
• $\frac{-3}{-2}$ est équivalent à $\frac{3}{2}$ (les deux sont positifs)

Égalité de quotients et opérations sur les fractions

Égalité de quotients

Un nombre rationnel en écriture fractionnaire ne change pas si l'on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Formules importantes :

• $\frac{a}{b} = \frac{k \times a}{k \times b}$
• $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$

Exemples :

• $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
• $\frac{-3}{4} = \frac{-3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{-75}{100} = -\frac{75}{100}$

Astuce : Cette propriété permet de simplifier les fractions ou de les mettre au même dénominateur.

Comparaison de quotients

Pour comparer des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

Exemples :

• $\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$ (même dénominateur, on compare les numérateurs)
• $\frac{5}{3} > \frac{21}{18}$ car $\frac{5}{3} \approx \frac{30}{18}$

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions :

• Elles doivent avoir le même dénominateur
• Si ce n'est pas le cas, on les réduit au même dénominateur

Formules :

• $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
• $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$

Méthode : Pour additionner $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{6}$, il faut d'abord les mettre au même dénominateur : $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, puis calculer $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Proportion, fréquence et pourcentage

Les nombres rationnels sont très utiles pour exprimer des proportions, des fréquences et des pourcentages. Voici la méthode à suivre :

1. Traduire la situation par une fraction
2. Simplifier cette fraction si possible
3. Interpréter le résultat avec un pourcentage

Exemple pratique

Imaginons que 42 élèves sur 78 aiment jouer aux jeux vidéo.

Étape 1 : Traduire par une fraction

• $\frac{42}{78}$ des élèves aiment jouer aux jeux vidéo

Étape 2 : Simplifier la fraction

• $\frac{42}{78} = \frac{2 \times 21}{2 \times 39} = \frac{21}{39} = \frac{3 \times 7}{3 \times 13} = \frac{7}{13}$

Étape 3 : Interpréter avec un pourcentage

• $\frac{7}{13} \approx 0,54$ soit $\frac{54}{100}$
• On peut dire qu'environ 54% des élèves aiment jouer aux jeux vidéo

Application : Les nombres rationnels permettent de passer facilement d'une fraction à un pourcentage, ce qui est très utile pour interpréter des données statistiques et comprendre des situations de la vie quotidienne.

Cette méthode est particulièrement utile pour analyser des sondages, des résultats d'enquêtes ou tout type de données où l'on doit exprimer une partie par rapport à un tout.