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3 déc. 2025

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Nombres complexes : Équations et représentations simples

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Orianne @studywithorianne

Les nombres complexes sont des outils mathématiques essentiels qui étendent notre compréhension des équations. Cette leçon se concentre... Affiche plus

# Equation du second degré Soit l'équation dans & suivante : 23-(4+1/2² + (13+42/2-13 i = 0 Déterminer les réels a, b et c tels que : 12-il

Équation du second degré dans ℂ

Aborder une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes commence par l'identifier sous la forme az² + bz + c = 0. Pour résoudre, on peut factoriser l'expression ou calculer le discriminant Δ = b² - 4ac, même si celui-ci est négatif.

Quand le discriminant est négatif, les solutions sont des nombres complexes conjugués. Par exemple, avec a=1, b=-4 et c=13, on obtient Δ = -36, ce qui donne les solutions z₁ = 2 - 3i et z₂ = 2 + 3i. N'oubliez pas qu'une factorisation peut également révéler des racines simples comme z = i.

💡 **Astuce pratique ** Lorsque vous obtenez un discriminant négatif, ne paniquez pas ! C'est simplement le signe que vos solutions seront complexes, ce qui est parfaitement normal dans ℂ.

Forme trigonométrique des nombres complexes

La forme trigonométrique exprime un nombre complexe z sous la forme z = |z|cosθ+isinθcos θ + i sin θ, où |z| est le module et θ l'argument. Cette représentation facilite grandement les multiplications et puissances.

Pour convertir un nombre comme z = -1 + i en forme trigonométrique, on calcule d'abord son module |z| = √((-1)² + 1²) = √2. On détermine ensuite l'argument θ à partir des relations cos θ = -1/√2 et sin θ = 1/√2, ce qui donne z = √2cos(3π/4)+isin(3π/4)cos(3π/4) + i sin(3π/4).

Propriétés des modules et arguments

Les opérations sur les nombres complexes suivent des règles élégantes en forme trigonométrique

  • **Multiplication ** |z·z'| = |z|·|z'| et arg(z·z') = arg(z) + arg(z')
  • **Division ** |z/z'| = |z|/|z'| et argz/z′z/z' = arg(z) - arg(z')
  • **Puissance ** |z^n| = |z|^n et argznz^n = n·arg(z) 2π2π

Ces formules permettent de simplifier considérablement les calculs complexes. Par exemple, pour calculer z^n, il suffit d'élever le module à la puissance n et de multiplier l'argument par n.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

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4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Esteban M

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Équation du second degré dans ℂ

Aborder une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes commence par l'identifier sous la forme az² + bz + c = 0. Pour résoudre, on peut factoriser l'expression ou calculer le discriminant Δ = b² - 4ac, même si celui-ci est négatif.

Quand le discriminant est négatif, les solutions sont des nombres complexes conjugués. Par exemple, avec a=1, b=-4 et c=13, on obtient Δ = -36, ce qui donne les solutions z₁ = 2 - 3i et z₂ = 2 + 3i. N'oubliez pas qu'une factorisation peut également révéler des racines simples comme z = i.

💡 Astuce pratique : Lorsque vous obtenez un discriminant négatif, ne paniquez pas ! C'est simplement le signe que vos solutions seront complexes, ce qui est parfaitement normal dans ℂ.

Forme trigonométrique des nombres complexes

La forme trigonométrique exprime un nombre complexe z sous la forme z = |z|cosθ+isinθcos θ + i sin θ, où |z| est le module et θ l'argument. Cette représentation facilite grandement les multiplications et puissances.

Pour convertir un nombre comme z = -1 + i en forme trigonométrique, on calcule d'abord son module |z| = √((-1)² + 1²) = √2. On détermine ensuite l'argument θ à partir des relations cos θ = -1/√2 et sin θ = 1/√2, ce qui donne z = √2cos(3π/4)+isin(3π/4)cos(3π/4) + i sin(3π/4).

Propriétés des modules et arguments

Les opérations sur les nombres complexes suivent des règles élégantes en forme trigonométrique :

  • Multiplication : |z·z'| = |z|·|z'| et arg(z·z') = arg(z) + arg(z')
  • Division : |z/z'| = |z|/|z'| et argz/z′z/z' = arg(z) - arg(z')
  • Puissance : |z^n| = |z|^n et argznz^n = n·arg(z) 2π2π

Ces formules permettent de simplifier considérablement les calculs complexes. Par exemple, pour calculer z^n, il suffit d'élever le module à la puissance n et de multiplier l'argument par n.

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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