Nombre dérivé et tangente

Le taux d'accroissement (ou taux de variation) est essentiel pour mesurer comment une fonction évolue. Pour une fonction f définie sur un intervalle I, ce taux entre un point d'abscisse a et un point d'abscisse a+h se calcule par la formule :

τ(h) = $f(a+h) - f(a)$/h

Quand h tend vers zéro, si ce taux d'accroissement converge vers une valeur précise, on dit que la fonction est dérivable en a. Cette valeur limite est appelée le nombre dérivé de f en a, noté f'(a).

💡 Retenez bien cette notation : f'(a) = lim[h→0] $f(a+h) - f(a)$/h. C'est la définition mathématique fondamentale du nombre dérivé.

Le nombre dérivé a une interprétation géométrique importante : il correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. L'équation réduite de cette tangente s'écrit alors : y = f'(a)$x-a$ + f(a).

Équation de la tangente à une courbe

L'équation de la tangente à une courbe est facile à établir une fois qu'on connaît le nombre dérivé. Pour une fonction f dérivable en a, la tangente au point A(a, f(a)) a pour équation :

y = f'(a)$x-a$ + f(a)

Cette équation se démontre simplement. Sachant que le coefficient directeur est f'(a), l'équation générale s'écrit y = f'(a)x + p. Il faut déterminer p en utilisant le fait que le point A(a, f(a)) appartient à la tangente.

En remplaçant les coordonnées de A dans l'équation, on obtient : f(a) = f'(a)a + p. Ce qui donne p = f(a) - f'(a)a. L'équation devient alors y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a, qu'on peut factoriser pour obtenir la forme finale.

⚠️ N'oubliez pas que cette formule n'est valable que si la fonction est dérivable au point considéré !