Introduction aux Nombres et Calculs

Multiples, diviseurs et divisibilité

Imagine que tu aies 84 bonbons à partager en 7 groupes égaux. Tu obtiens exactement 12 bonbons par groupe, sans reste ! C'est ça, la division euclidienne : 84 ÷ 7 = 12 (reste 0).

Quand le reste est 0, on peut dire plein de choses cool. 84 est un multiple de 7 (il est dans la table de 7), 84 est divisible par 7 (on peut le diviser sans reste), et 7 est un diviseur de 84 (il "rentre" parfaitement dans 84).

💡 Astuce : Multiple = "dans la table de", Diviseur = "ce qui divise", Divisible = "peut être divisé par"

Critères de divisibilité

Pas besoin de faire des divisions compliquées pour savoir si un nombre est divisible ! Il y a des critères de divisibilité super pratiques à retenir.

Pour 2 : le nombre doit être pair (finir par 0, 2, 4, 6 ou 8). Pour 5 : il doit finir par 0 ou 5. Pour 10 : il doit finir par 0.

Pour 3 et 9, c'est plus malin : tu additionnes tous les chiffres. Si cette somme est divisible par 3 (ou 9), alors ton nombre l'est aussi ! Par exemple, 1350 → 1+3+5+0 = 9, donc 1350 est divisible par 3 et par 9.

💡 Truc de pro : Ces critères te font gagner un temps fou dans tes calculs !

Nombres premiers

Les nombres premiers sont comme les "briques de base" des mathématiques. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. C'est tout !

13 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 13. Attention, 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur), et 2 est le seul nombre premier pair.

Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47... Il y en a une infinité ! Tu peux les voir comme des nombres "indivisibles" qui servent à construire tous les autres.

💡 À retenir : 2 est le seul nombre premier pair, tous les autres sont impairs !

Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre (sauf les nombres premiers) peut se "démonter" comme un Lego ! On appelle ça la décomposition en facteurs premiers.

Prenons 168. On le divise par le plus petit nombre premier possible (2), puis on recommence avec le résultat : 168 ÷ 2 = 84, puis 84 ÷ 2 = 42, puis 42 ÷ 2 = 21, puis 21 ÷ 3 = 7, et enfin 7 ÷ 7 = 1.

Résultat : 168 = 2³ × 3 × 7. C'est comme la "carte d'identité" du nombre 168 !

💡 Méthode : Divise toujours par le plus petit nombre premier possible jusqu'à arriver à 1.

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Voici un problème concret : un boulanger veut répartir 504 croissants et 12 250 pains au chocolat dans des cartons identiques, sans rien perdre. Combien de cartons au maximum ?

Il faut trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de 504 et 12 250. On décompose chaque nombre : 504 = 2³ × 3² × 7 et 12 250 = 2 × 5³ × 7².

Le PGCD, c'est le produit des facteurs premiers communs avec la plus petite puissance : PGCD = 2 × 7 = 14. Le boulanger peut faire 14 cartons avec 36 croissants et 875 pains au chocolat chacun.

💡 Astuce : Le PGCD te permet de résoudre plein de problèmes de partage équitable !

Fractions irréductibles

Une fraction irréductible, c'est une fraction "au minimum" : son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Pour rendre 204/72 irréductible, décompose le numérateur $204 = 2² × 3 × 17$ et le dénominateur $72 = 2³ × 3²$. Puis simplifie en "barrant" les facteurs communs.

Tu obtiens : 204/72 = (2² × 3 × 17)/(2³ × 3²) = 17/6 après simplification. C'est fini, 17/6 est irréductible !

💡 Raccourci : Tu peux aussi diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD d'un coup !