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Comprendre le polynôme du second degré

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Clémence BARANGER

28/11/2025

Maths

Polynôme du second degré

Mathématiques

Expressions et Formes Quadratiques

Fonction quadratique

134

•

28 nov. 2025

•

3 pages

Comprendre le polynôme du second degré

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Clémence BARANGER

@clmencebaranger_tybi

Les fonctions polynômes de degré 2 sont au cœur des... Affiche plus

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1 OMATIC CHAPITRE 1 fet poeynotes Wegre 2 IS AG I-les fonctions polynômes de degré 2 DEF: fct polynôme du second degré définies sur IR par $

Définition et forme canonique

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels, avec a≠0 (appelé coefficient dominant).

La forme canonique s'écrit P(x) = ax−αx-α² + β, où :

  • α = -b/(2a) correspond à l'abscisse du sommet
  • β = −b2+4ac-b²+4ac/(4a) est l'ordonnée du sommet

Le tableau de variations dépend du signe de a :

  • Si a > 0 : la fonction décroît jusqu'au point (α,β), puis croît vers +∞
  • Si a < 0 : la fonction croît jusqu'au point (α,β), puis décroît vers -∞

💡 Le point (α,β) est un minimum si a > 0, et un maximum si a < 0. C'est ce point qui donne à la parabole sa forme caractéristique en "U" ou en "∩".

1 OMATIC CHAPITRE 1 fet poeynotes Wegre 2 IS AG I-les fonctions polynômes de degré 2 DEF: fct polynôme du second degré définies sur IR par $

Forme factorisée et discriminant

La forme factorisée d'un polynôme de degré 2 s'écrit : ax−x1x-x₁x−x2x-x₂, où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme.

Pour déterminer ces racines, on calcule le discriminant Δ = b²-4ac, qui nous indique trois cas possibles :

  • Si Δ < 0 : le polynôme n'a pas de racines réelles (la parabole ne coupe jamais l'axe des x)
  • Si Δ = 0 : le polynôme a une racine double x₀ = -b/(2a) (la parabole est tangente à l'axe des x)
  • Si Δ > 0 : le polynôme a deux racines réelles distinctes x₁ = −b+√Δ-b+√Δ/(2a) et x₂ = −b−√Δ-b-√Δ/(2a) (la parabole coupe l'axe des x en deux points)

🔍 La forme factorisée est particulièrement utile pour déterminer rapidement les racines et étudier le signe du polynôme. Tu la maîtriseras vite avec un peu de pratique !

1 OMATIC CHAPITRE 1 fet poeynotes Wegre 2 IS AG I-les fonctions polynômes de degré 2 DEF: fct polynôme du second degré définies sur IR par $

Signe d'une fonction polynôme de degré 2

L'étude du signe d'un polynôme de degré 2 dépend directement du discriminant et du coefficient dominant a :

  • Si Δ > 0 : le polynôme change de signe aux racines x₁ et x₂. Entre ces deux valeurs, son signe est opposé à celui de a. À l'extérieur des racines, son signe est celui de a.

  • Si Δ = 0 : le polynôme s'annule uniquement en x₀ = -b/(2a), mais ne change pas de signe. Il garde constamment le signe de a, sauf en x₀ où il vaut 0.

  • Si Δ < 0 : le polynôme ne s'annule jamais et conserve toujours le signe de a sur tout ℝ.

⚠️ Ne confonds pas le signe du discriminant et le signe du polynôme ! Le premier te permet de déterminer le nombre de racines, le second te dit quand la fonction est positive ou négative.



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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Les fonctions polynômes de degré 2 sont au cœur des mathématiques du lycée. Elles se présentent sous la forme f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels avec a≠0. Ces fonctions ont des... Affiche plus

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Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels, avec a≠0 (appelé coefficient dominant).

La forme canonique s'écrit P(x) = ax−αx-α² + β, où :

  • α = -b/(2a) correspond à l'abscisse du sommet
  • β = −b2+4ac-b²+4ac/(4a) est l'ordonnée du sommet

Le tableau de variations dépend du signe de a :

  • Si a > 0 : la fonction décroît jusqu'au point (α,β), puis croît vers +∞
  • Si a < 0 : la fonction croît jusqu'au point (α,β), puis décroît vers -∞

💡 Le point (α,β) est un minimum si a > 0, et un maximum si a < 0. C'est ce point qui donne à la parabole sa forme caractéristique en "U" ou en "∩".

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Forme factorisée et discriminant

La forme factorisée d'un polynôme de degré 2 s'écrit : ax−x1x-x₁x−x2x-x₂, où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme.

Pour déterminer ces racines, on calcule le discriminant Δ = b²-4ac, qui nous indique trois cas possibles :

  • Si Δ < 0 : le polynôme n'a pas de racines réelles (la parabole ne coupe jamais l'axe des x)
  • Si Δ = 0 : le polynôme a une racine double x₀ = -b/(2a) (la parabole est tangente à l'axe des x)
  • Si Δ > 0 : le polynôme a deux racines réelles distinctes x₁ = −b+√Δ-b+√Δ/(2a) et x₂ = −b−√Δ-b-√Δ/(2a) (la parabole coupe l'axe des x en deux points)

🔍 La forme factorisée est particulièrement utile pour déterminer rapidement les racines et étudier le signe du polynôme. Tu la maîtriseras vite avec un peu de pratique !

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Signe d'une fonction polynôme de degré 2

L'étude du signe d'un polynôme de degré 2 dépend directement du discriminant et du coefficient dominant a :

  • Si Δ > 0 : le polynôme change de signe aux racines x₁ et x₂. Entre ces deux valeurs, son signe est opposé à celui de a. À l'extérieur des racines, son signe est celui de a.

  • Si Δ = 0 : le polynôme s'annule uniquement en x₀ = -b/(2a), mais ne change pas de signe. Il garde constamment le signe de a, sauf en x₀ où il vaut 0.

  • Si Δ < 0 : le polynôme ne s'annule jamais et conserve toujours le signe de a sur tout ℝ.

⚠️ Ne confonds pas le signe du discriminant et le signe du polynôme ! Le premier te permet de déterminer le nombre de racines, le second te dit quand la fonction est positive ou négative.

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Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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