Définition et forme canonique

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par f$x$ = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels, avec a≠0 (appelé coefficient dominant).

La forme canonique s'écrit P$x$ = a$x-α$² + β, où :

• α = -b/(2a) correspond à l'abscisse du sommet
• β = $-b²+4ac$/(4a) est l'ordonnée du sommet

Le tableau de variations dépend du signe de a :

• Si a > 0 : la fonction décroît jusqu'au point (α,β), puis croît vers +∞
• Si a < 0 : la fonction croît jusqu'au point (α,β), puis décroît vers -∞

💡 Le point (α,β) est un minimum si a > 0, et un maximum si a < 0. C'est ce point qui donne à la parabole sa forme caractéristique en "U" ou en "∩".

Forme factorisée et discriminant

La forme factorisée d'un polynôme de degré 2 s'écrit : ax-x₁$$x-x₂, où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme.

Pour déterminer ces racines, on calcule le discriminant Δ = b²-4ac, qui nous indique trois cas possibles :

• Si Δ < 0 : le polynôme n'a pas de racines réelles (la parabole ne coupe jamais l'axe des x)
• Si Δ = 0 : le polynôme a une racine double x₀ = -b/(2a) (la parabole est tangente à l'axe des x)
• Si Δ > 0 : le polynôme a deux racines réelles distinctes x₁ = $-b+√Δ$/(2a) et x₂ = $-b-√Δ$/(2a) (la parabole coupe l'axe des x en deux points)

🔍 La forme factorisée est particulièrement utile pour déterminer rapidement les racines et étudier le signe du polynôme. Tu la maîtriseras vite avec un peu de pratique !

Signe d'une fonction polynôme de degré 2

L'étude du signe d'un polynôme de degré 2 dépend directement du discriminant et du coefficient dominant a :

• Si Δ > 0 : le polynôme change de signe aux racines x₁ et x₂. Entre ces deux valeurs, son signe est opposé à celui de a. À l'extérieur des racines, son signe est celui de a.

• Si Δ = 0 : le polynôme s'annule uniquement en x₀ = -b/(2a), mais ne change pas de signe. Il garde constamment le signe de a, sauf en x₀ où il vaut 0.

• Si Δ < 0 : le polynôme ne s'annule jamais et conserve toujours le signe de a sur tout ℝ.

⚠️ Ne confonds pas le signe du discriminant et le signe du polynôme ! Le premier te permet de déterminer le nombre de racines, le second te dit quand la fonction est positive ou négative.