Position relative de courbes dans le plan

Tu veux savoir si une courbe est au-dessus ou en-dessous d'une autre ? C'est exactement ce qu'on appelle étudier leur position relative. La méthode est simple et efficace.

Pour comparer deux courbes Cf et Cg, il suffit d'étudier le signe de la différence f$x$ - g$x$. Si cette différence est positive, alors Cf est au-dessus de Cg. Si elle est négative, Cf est en-dessous.

Prenons l'exemple avec f$x$ = $x² - 5x + 5$/$x - 3$ et g$x$ = x - 2. En calculant f$x$ - g$x$, on obtient -1/$x - 3$. Le tableau de signes nous montre que Cf est au-dessus de Cg pour x < 3, et en-dessous pour x > 3.

💡 Astuce : Pense toujours à faire un tableau de signes pour visualiser clairement les zones où une courbe domine l'autre !

Position relative de droites dans le plan

Deux droites peuvent être parallèles, confondues ou sécantes. Pour le déterminer, on utilise leurs vecteurs directeurs ou normaux - c'est beaucoup plus efficace que d'essayer de visualiser !

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires (leur déterminant = 0), alors les droites sont parallèles ou confondues. Rappelle-toi : pour une droite ax + by + c = 0, le vecteur normal est (a, b) et le vecteur directeur est $-b, a$.

Quand les vecteurs ne sont pas colinéaires (déterminant ≠ 0), les droites sont sécantes. Cas particulier cool : si les vecteurs directeurs sont orthogonaux (produit scalaire = 0), alors les droites sont perpendiculaires.

💡 Méthode rapide : Calcule det(u⃗, v⃗) = xy' - x'y pour savoir si deux vecteurs u⃗(x,y) et v⃗(x',y') sont colinéaires !

Positions relatives dans l'espace

L'espace, c'est plus complexe mais pas de panique ! Un plan peut être défini de plusieurs façons : par 3 points non alignés, deux droites sécantes, ou encore par deux vecteurs directeurs.

Pour deux droites dans l'espace, trois cas sont possibles. Elles peuvent être parallèles (vecteurs directeurs parallèles), coplanaires (dans le même plan), ou non coplanaires (elles se "croisent" sans se toucher - typique de l'espace 3D !).

Entre une droite et un plan, c'est plus simple. Soit ils sont sécants (intersection en un point), soit la droite est parallèle au plan ou incluse dans le plan. Tout dépend si le vecteur directeur de la droite est coplanaire avec les vecteurs directeurs du plan.

💡 Visualisation : Imagine une règle et une feuille de papier - tous les cas de figure deviennent évidents !

Position relative de deux plans

Avec deux plans dans l'espace, les choses restent assez intuitives. Tu n'as que deux possibilités principales à retenir.

Soit les plans sont sécants et leur intersection forme une droite (imagine deux feuilles qui se croisent). Soit ils sont parallèles (jamais d'intersection) ou confondus (exactement le même plan).

💡 Dans la vraie vie : Pense au sol et au plafond (parallèles) ou à deux murs qui se rencontrent (sécants) !