Les fonctions du second degré

Tu connais sûrement déjà les paraboles - ces courbes en U qu'on retrouve partout ! Une fonction du second degré s'écrit sous la forme f$x$ = ax² + bx + c. Le coefficient "a" détermine si ta parabole sourit (a > 0) ou fait la tête (a < 0).

Le discriminant Δ = b² - 4ac est ton meilleur ami pour résoudre les équations. Si Δ < 0, pas de solution réelle. Si Δ = 0, une seule solution α = -b/2a. Si Δ > 0, deux solutions distinctes que tu calcules avec les formules données.

Le sommet de la parabole se trouve toujours au point S$-b/2a ; f(-b/2a)$. C'est le point le plus haut ou le plus bas de ta courbe selon le signe de "a".

Astuce : La forme factorisée f$x$ = ax-x₁$$x-x₂ te montre directement où la fonction s'annule !

Dérivation - Les bases

La dérivation te permet de connaître la pente d'une courbe en chaque point. C'est comme mesurer à quel point une route monte ou descend ! Toute fonction polynomiale ou rationnelle est dérivable.

Les formules de dérivation essentielles à retenir : une constante donne 0, x donne 1, x^n donne nx^$n-1$, et e^x reste e^x. Pour 1/x, tu obtiens -1/x², et pour √x, c'est 1/(2√x).

Les opérations sur les dérivées suivent des règles précises : $u+v$' = u'+v', (uv)' = u'v+v'u, et pour un quotient (u/v)' = $u'v-v'u$/v².

Important : Pour étudier la position de deux courbes, compare le signe de f$x$ - g$x$ !

Dérivation composée et dérivée seconde

Quand tu as une fonction composée comme f$x$ = g$ax+b$, sa dérivée devient f'$x$ = a×g'$ax+b$. C'est le principe de la dérivation en chaîne qui s'applique partout !

Pour une composition générale (v∘u)$x$ = v(u$x$), la dérivée suit la règle : (v∘u)'$x$ = v'(u$x$) × u'$x$. Tu multiplies la dérivée de la fonction extérieure (évaluée en u$x$) par la dérivée de la fonction intérieure.

Trois cas particuliers super utiles : (√u)' = u'/(2√u), $u^n$' = nu'u^$n-1$, et $e^u$' = u'e^u. Ces formules te serviront constamment !

La dérivée seconde f'' est tout simplement la dérivée de la dérivée première. Elle te renseigne sur la concavité de ta courbe.

Méthode : Identifie d'abord la fonction extérieure, puis la fonction intérieure, et applique la formule !

Variations d'une fonction

Comprendre les variations d'une fonction, c'est savoir si elle monte ou descend. Une fonction est croissante quand les antécédents et les images sont rangés dans le même ordre. Elle est décroissante dans le cas contraire.

Le théorème fondamental lie le signe de la dérivée aux variations : f' > 0 signifie que f est croissante, f' < 0 que f est décroissante, et f' = 0 que f est constante. Les réciproques sont également vraies !

La méthode standard pour étudier les variations suit trois étapes simples : définir et dériver ta fonction, étudier le signe de la dérivée, puis dresser le tableau de variations.

Les extremums correspondent aux points où f'$x$ = 0 : maximum quand f(x₀) ≥ f$x$ pour tout x, minimum quand f(x₀) ≤ f$x$ pour tout x.

Conseil : Le tableau de variations résume tout : croissance, décroissance, et extremums d'un coup d'œil !