Primitives usuelles et opérations

Fonctions de référence

Les fonctions de base et leurs primitives clés avec une constante $C \in \mathbb{R}$.

• Puissances : $x^n$ devient $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ et $e^x$ reste $e^x + C$
• Inverses : $\frac{1}{x}$ donne $\ln(x) + C$ et $\frac{1}{x^2}$ donne $-\frac{1}{x} + C$
• Trigonométrie : $\sin(x)$ devient $-\cos(x) + C$ et $\cos(x)$ donne $\sin(x) + C$

Propriétés opératoires

• Somme : la primitive de $f + g$ est $F + G$
• Coefficient : la primitive de $kf$ est $kF$

💡 Astuce : Pensez à décomposer vos fonctions avec leurs coefficients, par exemple $3 \times \frac{1}{x}$ devient $3\ln(x)$.

Primitives de fonctions composées

Formules de composition

Utiles pour trouver les primitives de formes complexes basées sur une fonction $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$.

• Puissances : $u'u^n$ devient $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ et $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ devient $2\sqrt{u}$
• Exponentielle et Logarithme : $u'e^u$ devient $e^u$ et $\frac{u'}{u}$ devient $\ln(u)$
• Forme affine : $\cos(ax+b)$ devient $\frac{1}{a}\sin(ax+b)$

💡 Tipp : Repérez toujours l'expression de $u(x)$ en premier pour faire apparaître sa dérivée $u'(x)$ devant.

Équations différentielles de base

Forme $y' = f$ et $y' = ay + b$

Résoudre une équation différentielle, c'est chercher une fonction inconnue $y(x)$.

• Équation $y'=f$ : les solutions sont les primitives de $f$, soit $G(x) = F(x) + C$
• Équation $y'=ay+b$ : les solutions globales sont de la forme $ke^{ax} - \frac{b}{a}$
• Solution constante : la valeur $-\frac{b}{a}$ représente la solution particulière constante

💡 Tipp : Pour prouver qu'une fonction est solution particulière d'une équation, il suffit de la dériver et de l'injecter dans l'égalité.

Méthode : Trouver ou vérifier une primitive

Déterminer une primitive

Exemple : Trouver la primitive de $f(x) = xe^{x^2}$.

• Étape 1 : On pose $u(x) = x^2$ donc $u'(x) = 2x$.
• Étape 2 : On ajuste le coefficient : $f(x) = \frac{1}{2}(2xe^{x^2})$, d'où $F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2}$.

Vérifier si F est une primitive

Pour valider que $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F$ : si $F'(x) = f(x)$, c'est correct.

💡 Attention : Pour dériver un quotient $\frac{u}{v}$, n'oubliez pas d'appliquer la formule $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Méthode : Résolution avec condition initiale

Résoudre $ay' + by = 0$

Exemple : Résoudre $3y' + 5y = 0$ avec la condition initiale $y(1) = 2$.

• Étape 1 : Isoler $y'$ pour obtenir $y' = -\frac{5}{3}y$. La solution générale est $y(x) = ke^{-\frac{5}{3}x}$.
• Étape 2 : Utiliser la condition $y(1)=2$ pour trouver la constante : $ke^{-\frac{5}{3}} = 2 \implies k = 2e^{\frac{5}{3}}$.

La solution unique est : $y(x) = 2e^{\frac{5}{3}(1-x)}$

💡 Tipp : La solution générale de $y' = ay$ s'écrit toujours sous la forme $ke^{ax}$ avec $k \in \mathbb{R}$.

Équations du type $y' = ay + f$

Structure des solutions

Pour résoudre $y' - ay = f(x)$, on assemble la solution générale de l'équation homogène et une solution particulière.

• Solution globale : Elle s'écrit toujours sous la forme $y(x) = ke^{ax} + u(x)$
• Équation homogène : Donne la partie exponentielle $ke^{ax}$
• Solution particulière : Notée $u(x)$, elle dépend du second membre de l'équation

💡 Tipp : Vérifiez toujours soigneusement les signes de vos coefficients lorsque vous passez le terme $ay$ de l'autre côté de l'égalité.