Primitives et formules de base

Quand tu cherches une primitive, tu fais l'opération inverse de la dérivation. Si F'(x) = f(x), alors F est une primitive de f. N'oublie jamais d'ajouter la constante +C !

Les formules essentielles à retenir : x devient x²/2, x^n devient x^$n+1$/$n+1$, et 1/x devient ln|x|. Pour les fonctions trigonométriques, sin(x) donne -cos(x) et cos(x) donne sin(x).

Les fonctions exponentielles et logarithmes ont leurs propres règles : e^x reste e^x, mais ln(x) devient x·ln(x) - x. Ces formules, tu les utiliseras constamment !

Astuce pratique : Vérifie toujours tes primitives en dérivant le résultat - tu dois retrouver ta fonction de départ.

Intégrales et aire sous la courbe

L'intégrale définie ∫[a→b] f(x)dx représente l'aire entre la courbe et l'axe des x. Quand la fonction est positive, l'aire est positive ; quand elle est négative, l'aire compte négativement.

Les propriétés fondamentales simplifient tes calculs. La linéarité te permet de séparer les constantes et d'additionner les intégrales. La relation de Chasles découpe ton intervalle : ∫[a→c] = ∫[a→b] + ∫[b→c].

Pour les primitives composées, utilise les formules avec u' : si tu vois u'·u^n, la primitive est u^$n+1$/$n+1$. Pareil pour u'/u qui donne ln|u|.

Théorèmes et techniques avancées

Le théorème fondamental relie primitives et intégrales : ∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a). C'est ta formule magique pour calculer n'importe quelle intégrale définie !

L'intégration par parties résout les produits de fonctions : ∫u'v dx = uv - ∫uv' dx. Identifie u' et v, trouve leurs primitives/dérivées, puis applique la formule. Super utile pour x·ln(x) ou x·e^x.

La valeur moyenne d'une fonction sur [a,b] se calcule avec $1/(b-a)$·∫[a→b] f(x)dx. C'est comme faire la moyenne de toutes les valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Méthode gagnante : Pour l'intégration par parties, choisis u' comme la fonction la plus "compliquée" à primitiver.

L'inégalité de la moyenne encadre tes intégrales : si m ≤ f(x) ≤ M, alors m$b-a$ ≤ ∫[a→b] f(x)dx ≤ M$b-a$. Pratique pour estimer des résultats !