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Relations entre Probabilités d'Événements

Règle de multiplication

Maths217Mis à jour 15 sept. 20262 pages

Les Probabilités Conditionnelles : Essentiel pour Les Maths Spécialité

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Emma Guchereau@emma_ghe
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Les probabilités conditionnelles te permettent de calculer la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà réalisé. C'est un outil super utile pour résoudre des problèmes complexes en décomposant l'univers des possibles.
probabilités conditionnelles – page 1

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Formules des Probabilités Conditionnelles

Tu te demandes comment calculer une probabilité quand tu sais déjà qu'un autre événement s'est produit ? C'est exactement ça, les probabilités conditionnelles !

La formule de base est PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, qui se lit "la probabilité de B sachant A". Cette formule te donne deux relations super pratiques : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) et P(A∩B)=P(B)×PB(A)P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A).

Ces formules sont la base pour construire des arbres pondérés qui te permettront de visualiser et résoudre facilement des problèmes complexes. Tu verras que c'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît !

💡 Astuce : Retiens que P(A∩B)P(A \cap B) peut se calculer de deux façons différentes selon les données dont tu disposes !

probabilités conditionnelles – page 2

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Partition de l'Univers et Probabilité Totale

Imagine que tu découpes l'univers Ω\Omega en plusieurs morceaux qui ne se chevauchent jamais : c'est une partition de l'univers. Ces événements A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n sont incompatibles deux à deux et leur réunion forme tout l'univers.

L'exemple le plus simple ? Un événement AA et son contraire Aˉ\bar{A} forment toujours une partition puisque A∩Aˉ=∅A \cap \bar{A} = \emptyset et A∪Aˉ=ΩA \cup \bar{A} = \Omega.

La formule des probabilités totales devient alors ton meilleur ami : P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+...+P(An∩B)P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B). Dans le cas simple avec AA et Aˉ\bar{A}, ça donne : P(B)=P(A)×PA(B)+P(Aˉ)×PAˉ(B)P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B).

💡 Conseil pratique : Cette formule est parfaite pour les exercices où tu dois "passer par des cas" pour calculer une probabilité !

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