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6 déc. 2025

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Comprendre le Produit Scalaire: Méthodes et Applications

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Victoria @victoria_st

Le produit scalaireest un outil super puissant en maths qui te permet de calculer des angles, des... Affiche plus

# PRODUIT SCALAIRE Calculer le produit scalaure • $AB. AC = NAB II XHÁCH X cos BAC$ • $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x}{y}$ dans

Calculer le produit scalaire

Tu as plusieurs façons de calculer un produit scalaire, et chacune a ses avantages selon le contexte. La formule de base avec l'angle est AB⃗⋅AC⃗=∣∣AB⃗∣∣×∣∣AC⃗∣∣×cos⁡(BAC^)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC}).

Quand tu travailles avec des coordonnées dans une base orthonormée, c'est beaucoup plus simple u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'. Tu multiplies les coordonnées correspondantes et tu additionnes !

Le projeté orthogonal est ton meilleur ami pour simplifier les calculs. Si H est le projeté de C sur la droite (AB), alors AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}.

Astuce pratique Pour des vecteurs colinéaires, le produit scalaire vaut +∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣+||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| s'ils ont le même sens, et −∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣-||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| s'ils sont de sens contraires.

La formule de la médiane te donne MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \frac{MI^2 - AB^2}{4} où I est le milieu de ABAB. Et n'oublie pas que u⃗⋅u⃗=∣∣u⃗∣∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 !

# PRODUIT SCALAIRE Calculer le produit scalaure • $AB. AC = NAB II XHÁCH X cos BAC$ • $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x}{y}$ dans

Propriétés et applications

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. C'est le test ultime pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires !

Le produit scalaire suit les mêmes règles que la multiplication classique. Tu peux distribuer u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}. Les identités remarquables marchent aussi (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2.

Pour passer d'une longueur à un vecteur, souviens-toi que AB2=AB⃗2=AB⃗⋅AB⃗AB^2 = \vec{AB}^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}. Cette relation est super utile dans les calculs !

Info importante Le théorème d'Al-Kashi utilise le produit scalaire pour calculer les côtés d'un triangle quelconque, même quand tu ne connais pas tous les angles.

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

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4.9/5

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4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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•

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•

6 déc. 2025

•

2 pages

Comprendre le Produit Scalaire: Méthodes et Applications

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Victoria

@victoria_st

Le produit scalaire est un outil super puissant en maths qui te permet de calculer des angles, des projections et des distances. C'est un peu comme un "code secret" qui relie la géométrie et l'algèbre !

# PRODUIT SCALAIRE Calculer le produit scalaure • $AB. AC = NAB II XHÁCH X cos BAC$ • $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x}{y}$ dans

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Calculer le produit scalaire

Tu as plusieurs façons de calculer un produit scalaire, et chacune a ses avantages selon le contexte. La formule de base avec l'angle est AB⃗⋅AC⃗=∣∣AB⃗∣∣×∣∣AC⃗∣∣×cos⁡(BAC^)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC}).

Quand tu travailles avec des coordonnées dans une base orthonormée, c'est beaucoup plus simple : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'. Tu multiplies les coordonnées correspondantes et tu additionnes !

Le projeté orthogonal est ton meilleur ami pour simplifier les calculs. Si H est le projeté de C sur la droite (AB), alors AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}.

Astuce pratique : Pour des vecteurs colinéaires, le produit scalaire vaut +∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣+||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| s'ils ont le même sens, et −∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣-||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| s'ils sont de sens contraires.

La formule de la médiane te donne : MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \frac{MI^2 - AB^2}{4} où I est le milieu de ABAB. Et n'oublie pas que u⃗⋅u⃗=∣∣u⃗∣∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 !

# PRODUIT SCALAIRE Calculer le produit scalaure • $AB. AC = NAB II XHÁCH X cos BAC$ • $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x}{y}$ dans

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Propriétés et applications

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. C'est le test ultime pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires !

Le produit scalaire suit les mêmes règles que la multiplication classique. Tu peux distribuer : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}. Les identités remarquables marchent aussi : (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2.

Pour passer d'une longueur à un vecteur, souviens-toi que AB2=AB⃗2=AB⃗⋅AB⃗AB^2 = \vec{AB}^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}. Cette relation est super utile dans les calculs !

Info importante : Le théorème d'Al-Kashi utilise le produit scalaire pour calculer les côtés d'un triangle quelconque, même quand tu ne connais pas tous les angles.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

5

Outils Intelligents NOUVEAU

Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen Blanc Complet ✓ Plans de Dissertation

Examen Blanc
Quiz
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Dissertation

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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