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Comprendre et appliquer le produit scalaire : formules et méthodes

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Le produit scalaire est un outil super puissant en géométrie... Affiche plus

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# formules PRODUIT SCALAIRE Calculer AB. ÁC * AB AC ABAC X COS (BAC) A → colinéaires : A B A AB. ACABAC AB. AC-AB AC → perpendiculaire

Calcul du produit scalaire

Le produit scalaire AB⃗.AC⃗\vec{AB}.\vec{AC}, c'est LA formule à retenir : AB⃗.AC⃗=AB×AC×cos⁡(BAC^)\vec{AB}.\vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}). Elle utilise les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux.

Quand les vecteurs sont colinéaires (même direction), le produit scalaire vaut AB×ACAB \times AC ou −AB×AC-AB \times AC selon le sens. Si ils sont perpendiculaires, alors AB⃗.AC⃗=0\vec{AB}.\vec{AC} = 0 parce que cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0.

Pour les coordonnées, c'est super pratique : si AB⃗(x,y)\vec{AB}(x,y) et AC⃗(x′,y′)\vec{AC}(x',y'), alors AB⃗.AC⃗=xx′+yy′\vec{AB}.\vec{AC} = xx' + yy'. Tu peux aussi utiliser le projeté orthogonal : AB⃗.AC⃗=AB⃗.AH⃗\vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AB}.\vec{AH} où H est la projection.

Astuce : La formule avec les longueurs AB⃗.AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}.\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) est parfaite quand tu connais les trois côtés du triangle !

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# formules PRODUIT SCALAIRE Calculer AB. ÁC * AB AC ABAC X COS (BAC) A → colinéaires : A B A AB. ACABAC AB. AC-AB AC → perpendiculaire

Propriétés et théorèmes essentiels

Pour calculer la longueur d'un vecteur AB→\overrightarrow{AB}, utilise ∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. Le milieu entre A et B a pour coordonnées (xA+xB2;yA+yB2)\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).

Les propriétés algébriques du produit scalaire sont comme celles des nombres : il est commutatif $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$ et distributif $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$. Retiens aussi que v⃗.v⃗=∣v⃗∣2\vec{v}.\vec{v} = |\vec{v}|^2.

Les identités remarquables marchent avec les vecteurs : (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗.v⃗+v⃗2(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 et (u⃗−v⃗)2=u⃗2−2u⃗.v⃗+v⃗2(\vec{u}-\vec{v})^2 = \vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2.

À retenir : La formule d'Al-Kashi a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A}) généralise Pythagore et te donne directement l'angle : A^=arccos⁡(b2+c2−a22bc)\hat{A} = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).

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4.7/5Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan Sutilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klichutilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Annautilisatrice iOS

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Inscris-toi pour voir le contenu. C'est gratuit!

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Calcul du produit scalaire

Le produit scalaire AB⃗.AC⃗\vec{AB}.\vec{AC}, c'est LA formule à retenir : AB⃗.AC⃗=AB×AC×cos⁡(BAC^)\vec{AB}.\vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}). Elle utilise les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux.

Quand les vecteurs sont colinéaires (même direction), le produit scalaire vaut AB×ACAB \times AC ou −AB×AC-AB \times AC selon le sens. Si ils sont perpendiculaires, alors AB⃗.AC⃗=0\vec{AB}.\vec{AC} = 0 parce que cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0.

Pour les coordonnées, c'est super pratique : si AB⃗(x,y)\vec{AB}(x,y) et AC⃗(x′,y′)\vec{AC}(x',y'), alors AB⃗.AC⃗=xx′+yy′\vec{AB}.\vec{AC} = xx' + yy'. Tu peux aussi utiliser le projeté orthogonal : AB⃗.AC⃗=AB⃗.AH⃗\vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AB}.\vec{AH} où H est la projection.

Astuce : La formule avec les longueurs AB⃗.AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}.\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) est parfaite quand tu connais les trois côtés du triangle !

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À retenir : La formule d'Al-Kashi a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\hat{A}) généralise Pythagore et te donne directement l'angle : A^=arccos⁡(b2+c2−a22bc)\hat{A} = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).

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