Maths
Physique/Chimie
Français
Histoire
SVT
Les états de la matière
Mouvements et interactions
L'énergie
L'organisation de la matière dans l'univers
Lumière, images et couleurs
Ondes et signaux
Les transformations chimiques
Vision et image
Constitution et transformation de la matière
Constitution et transformations de la matière
Structure de la matière
Les circuits électriques
Énergie : conversions et transferts
Propriétés physico-chimiques
Les signaux
Affiche tous les sujets
Le xixème siècle
Nouveaux enjeux et acteurs après la guerre froide
La méditerranée de l'antiquité au moyen-age
Le xviiième siècle
Le monde de l'antiquité
Les guerres mondiales
La crise et la montée des régimes totalitaires
Le monde depuis 1945
Une nouvelle guerre mondiale
Le nouveau monde
La guerre froide
Les religions du vième au xvème siècle
La 3ème république
Révolution et restauration
La france et la république
Affiche tous les sujets
Le monde microbien et la santé
Unité et diversité des êtres vivants
La géologie
Écosystèmes et activités humaines
Transmission, variation et expression du patrimoine génétique
Corps humain et santé
Reproduction et comportements sexuels responsables
La cellule unité du vivant
Procréation et sexualité humaine
La génétique
La planète terre, l'environnement et l'action humaine
Le mouvement
Diversité et stabilité génétique des êtres vivants
Nutrition et organisation des animaux
Le fonctionnement de l'organisme
Affiche tous les sujets
2
0
🦋Ludi.study🦋
22/11/2025
Maths
Propriétés des nombres complexes
120
•
22 nov. 2025
•
Les nombres complexes forment un ensemble mathématique fondamental qui étend... Affiche plus
Un nombre complexe s'écrit sous la forme z = a + ib, où a est la partie réelle notée Re(z) et b la partie imaginaire notée Im(z). Si b = 0, le nombre est réel (z ∈ ℝ), et si a = 0, on a un imaginaire pur (z ∈ iℝ).
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib est z̄ = a - ib. Cette notion est très utile et possède plusieurs propriétés importantes : z + z̄ = 2Re(z), z - z̄ = 2i·Im(z), et z·z̄ = |z|² = a² + b². De plus, le conjugué respecte les opérations arithmétiques (z·z')̄ = z̄·z̄'.
Les opérations sur les complexes suivent des règles précises. Pour l'addition : z + z' = + i. Pour la multiplication : z·z' = + i. L'inverse d'un nombre complexe non nul s'écrit : 1/z = /.
💡 Astuce : Pour calculer rapidement le produit de deux complexes, pensez à utiliser la même méthode que pour les identités remarquables dans ℝ, mais en tenant compte que i² = -1.
Le module d'un nombre complexe z = a + ib est défini par |z| = √. C'est une notion fondamentale qui représente géométriquement la distance entre le point associé à z et l'origine dans le plan complexe.
Ce module possède plusieurs propriétés essentielles qui ressemblent à celles de la valeur absolue des nombres réels. Par exemple, |z·z'| = |z|·|z'| et |z| = |z̄|. Si z' ≠ 0, alors |z/z'| = |z|/|z'|. On note aussi que |z|² = z·z̄, ce qui offre une façon pratique de calculer le carré du module.
L'inégalité triangulaire est une propriété cruciale du module : |z + z'| ≤ |z| + |z'|. Elle traduit, dans le plan complexe, le fait que la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
🔍 Attention : Le module d'un nombre complexe est toujours réel et positif ou nul. Il n'est égal à zéro que lorsque z = 0.
La résolution d'équations du second degré prend une nouvelle dimension dans ℂ. Pour l'équation simple z² = α où α ∈ ℝ, plusieurs cas se présentent : si α > 0, les solutions sont ±√α, et si α < 0, les solutions sont ±i√(-α).
Pour l'équation générale az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels, le discriminant Δ = b² - 4ac reste l'élément clé. Si Δ = 0, il y a une racine réelle -b/2a. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles : /2a.
Le cas le plus intéressant est lorsque Δ < 0, car c'est là que les nombres complexes révèlent leur puissance. L'équation admet alors deux racines complexes conjuguées : z = /2a. Cette propriété est fondamentale en algèbre et permet d'affirmer que toute équation polynomiale admet une solution dans ℂ.
🌟 Remarque : Contrairement à ℝ, dans l'ensemble des nombres complexes, toute équation de degré n possède exactement n racines (comptées avec leur multiplicité). C'est le théorème fondamental de l'algèbre !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
App Store
Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
Les nombres complexes forment un ensemble mathématique fondamental qui étend les nombres réels. Ils permettent notamment de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans l'ensemble des réels. Ces nombres, basés sur l'unité imaginaire i où i² = -1,... Affiche plus
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.
Un nombre complexe s'écrit sous la forme z = a + ib, où a est la partie réelle notée Re(z) et b la partie imaginaire notée Im(z). Si b = 0, le nombre est réel (z ∈ ℝ), et si a = 0, on a un imaginaire pur (z ∈ iℝ).
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib est z̄ = a - ib. Cette notion est très utile et possède plusieurs propriétés importantes : z + z̄ = 2Re(z), z - z̄ = 2i·Im(z), et z·z̄ = |z|² = a² + b². De plus, le conjugué respecte les opérations arithmétiques (z·z')̄ = z̄·z̄'.
Les opérations sur les complexes suivent des règles précises. Pour l'addition : z + z' = + i. Pour la multiplication : z·z' = + i. L'inverse d'un nombre complexe non nul s'écrit : 1/z = /.
💡 Astuce : Pour calculer rapidement le produit de deux complexes, pensez à utiliser la même méthode que pour les identités remarquables dans ℝ, mais en tenant compte que i² = -1.
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.
Le module d'un nombre complexe z = a + ib est défini par |z| = √. C'est une notion fondamentale qui représente géométriquement la distance entre le point associé à z et l'origine dans le plan complexe.
Ce module possède plusieurs propriétés essentielles qui ressemblent à celles de la valeur absolue des nombres réels. Par exemple, |z·z'| = |z|·|z'| et |z| = |z̄|. Si z' ≠ 0, alors |z/z'| = |z|/|z'|. On note aussi que |z|² = z·z̄, ce qui offre une façon pratique de calculer le carré du module.
L'inégalité triangulaire est une propriété cruciale du module : |z + z'| ≤ |z| + |z'|. Elle traduit, dans le plan complexe, le fait que la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
🔍 Attention : Le module d'un nombre complexe est toujours réel et positif ou nul. Il n'est égal à zéro que lorsque z = 0.
Accès à tous les documents
Améliore tes notes
Rejoins des millions d'étudiants
En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.
La résolution d'équations du second degré prend une nouvelle dimension dans ℂ. Pour l'équation simple z² = α où α ∈ ℝ, plusieurs cas se présentent : si α > 0, les solutions sont ±√α, et si α < 0, les solutions sont ±i√(-α).
Pour l'équation générale az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels, le discriminant Δ = b² - 4ac reste l'élément clé. Si Δ = 0, il y a une racine réelle -b/2a. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles : /2a.
Le cas le plus intéressant est lorsque Δ < 0, car c'est là que les nombres complexes révèlent leur puissance. L'équation admet alors deux racines complexes conjuguées : z = /2a. Cette propriété est fondamentale en algèbre et permet d'affirmer que toute équation polynomiale admet une solution dans ℂ.
🌟 Remarque : Contrairement à ℝ, dans l'ensemble des nombres complexes, toute équation de degré n possède exactement n racines (comptées avec leur multiplicité). C'est le théorème fondamental de l'algèbre !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
2
Outils Intelligents NOUVEAU
Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen Blanc Complet ✓ Plans de Dissertation
App Store
Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
