Matières

Maths

5 déc. 2025

184

7 pages

Introduction au Raisonnement par Récurrence

Marie-f_law @marieflaw

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Les raisonnements par récurrence sont un outil super puissant pour démontrer des propriétés sur les suites ! Tu... Affiche plus

MATHS
Raisonnements pou récurrence : suites
Rappels:
Modes de générations:
formule de recurrence:
on
formule explicite: un₁ = f(n)
Axiome de

Les bases du raisonnement par récurrence

Tu connais déjà deux façons de définir une suite avec une formule de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ou une formule explicite $$u_n = f(n)$$ . Le raisonnement par récurrence va te permettre de passer de l'une à l'autre !

L'axiome de récurrence fonctionne comme un domino si tu prouves qu'une propriété $P_n$ est vraie au départ ET qu'elle se transmet d'un rang au suivant, alors elle est vraie partout. C'est génial, non ?

Pour rédiger une démonstration par récurrence, tu as trois étapes cruciales d'abord énoncer clairement ta propriété $P_n$ , puis faire l'initialisation $vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie$ , ensuite l'hérédité $montrer que si $P_k$ est vraie, alors $P_{k+1}$ l'est aussi$ , et enfin la conclusion.

💡 Astuce Pense au raisonnement par récurrence comme à une chaîne - chaque maillon doit être solide pour que l'ensemble tienne !

Exemple concret somme des carrés

Imagine que tu veuilles prouver que $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ . C'est parti pour la démonstration par récurrence !

Initialisation Pour $n=1$ , tu calcules $\sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1$ et $\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1$ . Parfait, $P_1$ est vraie !

Hérédité Tu supposes que $P_k$ est vraie, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ . Maintenant, tu dois montrer que $P_{k+1}$ est vraie. En ajoutant $(k+1)^2$ des deux côtés et en manipulant algébriquement, tu arrives bien à $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ .

💡 Conseil L'étape d'hérédité demande souvent des calculs un peu longs - ne te décourage pas, c'est normal !

Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques ont une différence constante entre deux termes consécutifs $u_{n+1} - u_n = r$ (la raison). Leur formule de récurrence est $u_{n+1} = u_n + r$ et leur formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$ .

Les suites géométriques ont un rapport constant $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (le quotient). Leur formule de récurrence devient $u_{n+1} = u_n \times q$ et leur formule explicite $u_n = u_0 \times q^n$ .

Tu peux aussi utiliser $u_n = u_p + (n-p) \times r$ pour les suites arithmétiques et $u_n = u_p \times q^{n-p}$ pour les géométriques quand tu connais un terme quelconque $u_p$ .

💡 Mémo Arithmétique = addition, géométrique = multiplication !

Démonstrations par récurrence des formules

Pour prouver que $a_n = a_0 + nr$ dans une suite arithmétique, tu appliques la récurrence classique. L'initialisation avec $a_0 = a_0 + 0 \times r$ est immédiate, et l'hérédité utilise le fait que $a_{k+1} = a_k + r$ .

Pour les suites géométriques, tu démontres que $b_n = b_0 \times q^n$ . Là aussi, l'initialisation est simple avec $b_0 = b_0 \times q^0 = b_0$ , et l'hérédité exploite $b_{k+1} = b_k \times q$ .

Ces démonstrations te montrent pourquoi ces formules fonctionnent - c'est bien plus satisfaisant que de les apprendre par cœur !

💡 Rappel Ces preuves par récurrence renforcent ta compréhension des formules explicites.

Fin de la démonstration géométrique

La dernière étape de la démonstration pour les suites géométriques est directe $b_{k+1} = b_k \times q = b_0 \times q^k \times q = b_0 \times q^{k+1}$ .

Cette égalité confirme que $P_{k+1}$ est vraie, donc $P_n$ est vraie pour tout $n$ . Simple et efficace !

💡 Bravo Tu maîtrises maintenant les preuves des formules les plus importantes !

Variations des suites

Une suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un rang $N$ quand $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n > N$ . Elle est décroissante quand $u_{n+1} < u_n$ .

Si tu as une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est croissante, alors le comportement de la suite dépend de la comparaison entre termes consécutifs. Quand $u_{n+1} > u_n$ et $f$ croissante, tu obtiens $u_{n+2} > u_{n+1}$ , donc la suite reste croissante.

Inversement, si $u_{n+1} < u_n$ avec $f$ croissante, alors $u_{n+2} < u_{n+1}$ et la suite reste décroissante.

💡 Astuce La monotonie d'une fonction aide à déterminer celle de la suite !

Exemple pratique de variation

Soit $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = f(a_n)$ avec $a_0 = 1$ et $f(1) = -1$ . Tu veux démontrer par récurrence que cette suite est décroissante.

Initialisation $a_0 = 1$ et $a_1 = f(a_0) = f(1) = -1$ , donc $a_0 > a_1$ et $P_0$ est vraie.

Hérédité Si $a_k > a_{k+1}$ et que $f$ est croissante, alors $f(a_k) > f(a_{k+1})$ , c'est-à-dire $a_{k+1} > a_{k+2}$ . La propriété se transmet !

La suite $(a_n)$ est donc bien décroissante car $a_n > a_{n+1}$ pour tout $n$ .

💡 Réussi Tu sais maintenant prouver les variations d'une suite par récurrence !

Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

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Les bases du raisonnement par récurrence

Tu connais déjà deux façons de définir une suite : avec une formule de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ou une formule explicite $$u_n = f(n)$$ . Le raisonnement par récurrence va te permettre de passer de l'une à l'autre !

L'axiome de récurrence fonctionne comme un domino : si tu prouves qu'une propriété $P_n$ est vraie au départ ET qu'elle se transmet d'un rang au suivant, alors elle est vraie partout. C'est génial, non ?

Pour rédiger une démonstration par récurrence, tu as trois étapes cruciales : d'abord énoncer clairement ta propriété $P_n$ , puis faire l'initialisation $vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie$ , ensuite l'hérédité $montrer que si $P_k$ est vraie, alors $P_{k+1}$ l'est aussi$ , et enfin la conclusion.

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Initialisation : Pour $n=1$ , tu calcules $\sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1$ et $\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1$ . Parfait, $P_1$ est vraie !

Hérédité : Tu supposes que $P_k$ est vraie, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ . Maintenant, tu dois montrer que $P_{k+1}$ est vraie. En ajoutant $(k+1)^2$ des deux côtés et en manipulant algébriquement, tu arrives bien à $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ .

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Les suites arithmétiques ont une différence constante entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n = r$ (la raison). Leur formule de récurrence est $u_{n+1} = u_n + r$ et leur formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$ .

Les suites géométriques ont un rapport constant : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (le quotient). Leur formule de récurrence devient $u_{n+1} = u_n \times q$ et leur formule explicite $u_n = u_0 \times q^n$ .

Tu peux aussi utiliser $u_n = u_p + (n-p) \times r$ pour les suites arithmétiques et $u_n = u_p \times q^{n-p}$ pour les géométriques quand tu connais un terme quelconque $u_p$ .

💡 Mémo : Arithmétique = addition, géométrique = multiplication !

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Démonstrations par récurrence des formules

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Inversement, si $u_{n+1} < u_n$ avec $f$ croissante, alors $u_{n+2} < u_{n+1}$ et la suite reste décroissante.

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Soit $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = f(a_n)$ avec $a_0 = 1$ et $f(1) = -1$ . Tu veux démontrer par récurrence que cette suite est décroissante.

Initialisation : $a_0 = 1$ et $a_1 = f(a_0) = f(1) = -1$ , donc $a_0 > a_1$ et $P_0$ est vraie.

Hérédité : Si $a_k > a_{k+1}$ et que $f$ est croissante, alors $f(a_k) > f(a_{k+1})$ , c'est-à-dire $a_{k+1} > a_{k+2}$ . La propriété se transmet !

La suite $(a_n)$ est donc bien décroissante car $a_n > a_{n+1}$ pour tout $n$ .

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