Les bases du raisonnement par récurrence

Tu connais déjà deux façons de définir une suite : avec une formule de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ou une formule explicite $u_n = f(n)$. Le raisonnement par récurrence va te permettre de passer de l'une à l'autre !

L'axiome de récurrence fonctionne comme un domino : si tu prouves qu'une propriété $P_n$ est vraie au départ ET qu'elle se transmet d'un rang au suivant, alors elle est vraie partout. C'est génial, non ?

Pour rédiger une démonstration par récurrence, tu as trois étapes cruciales : d'abord énoncer clairement ta propriété $P_n$, puis faire l'initialisation vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie, ensuite l'hérédité montrer que si $P_k$ est vraie, alors $P_{k+1}$ l'est aussi, et enfin la conclusion.

💡 Astuce : Pense au raisonnement par récurrence comme à une chaîne - chaque maillon doit être solide pour que l'ensemble tienne !

Exemple concret : somme des carrés

Imagine que tu veuilles prouver que $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. C'est parti pour la démonstration par récurrence !

Initialisation : Pour $n=1$, tu calcules $\sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1$ et $\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Parfait, $P_1$ est vraie !

Hérédité : Tu supposes que $P_k$ est vraie, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Maintenant, tu dois montrer que $P_{k+1}$ est vraie. En ajoutant $(k+1)^2$ des deux côtés et en manipulant algébriquement, tu arrives bien à $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

💡 Conseil : L'étape d'hérédité demande souvent des calculs un peu longs - ne te décourage pas, c'est normal !

Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques ont une différence constante entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n = r$ (la raison). Leur formule de récurrence est $u_{n+1} = u_n + r$ et leur formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$.

Les suites géométriques ont un rapport constant : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (le quotient). Leur formule de récurrence devient $u_{n+1} = u_n \times q$ et leur formule explicite $u_n = u_0 \times q^n$.

Tu peux aussi utiliser $u_n = u_p + (n-p) \times r$ pour les suites arithmétiques et $u_n = u_p \times q^{n-p}$ pour les géométriques quand tu connais un terme quelconque $u_p$.

💡 Mémo : Arithmétique = addition, géométrique = multiplication !

Démonstrations par récurrence des formules

Pour prouver que $a_n = a_0 + nr$ dans une suite arithmétique, tu appliques la récurrence classique. L'initialisation avec $a_0 = a_0 + 0 \times r$ est immédiate, et l'hérédité utilise le fait que $a_{k+1} = a_k + r$.

Pour les suites géométriques, tu démontres que $b_n = b_0 \times q^n$. Là aussi, l'initialisation est simple avec $b_0 = b_0 \times q^0 = b_0$, et l'hérédité exploite $b_{k+1} = b_k \times q$.

Ces démonstrations te montrent pourquoi ces formules fonctionnent - c'est bien plus satisfaisant que de les apprendre par cœur !

💡 Rappel : Ces preuves par récurrence renforcent ta compréhension des formules explicites.

Fin de la démonstration géométrique

La dernière étape de la démonstration pour les suites géométriques est directe : $b_{k+1} = b_k \times q = b_0 \times q^k \times q = b_0 \times q^{k+1}$.

Cette égalité confirme que $P_{k+1}$ est vraie, donc $P_n$ est vraie pour tout $n$. Simple et efficace !

💡 Bravo : Tu maîtrises maintenant les preuves des formules les plus importantes !

Variations des suites

Une suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un rang $N$ quand $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n > N$. Elle est décroissante quand $u_{n+1} < u_n$.

Si tu as une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est croissante, alors le comportement de la suite dépend de la comparaison entre termes consécutifs. Quand $u_{n+1} > u_n$ et $f$ croissante, tu obtiens $u_{n+2} > u_{n+1}$, donc la suite reste croissante.

Inversement, si $u_{n+1} < u_n$ avec $f$ croissante, alors $u_{n+2} < u_{n+1}$ et la suite reste décroissante.

💡 Astuce : La monotonie d'une fonction aide à déterminer celle de la suite !

Exemple pratique de variation

Soit $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = f(a_n)$ avec $a_0 = 1$ et $f(1) = -1$. Tu veux démontrer par récurrence que cette suite est décroissante.

Initialisation : $a_0 = 1$ et $a_1 = f(a_0) = f(1) = -1$, donc $a_0 > a_1$ et $P_0$ est vraie.

Hérédité : Si $a_k > a_{k+1}$ et que $f$ est croissante, alors $f(a_k) > f(a_{k+1})$, c'est-à-dire $a_{k+1} > a_{k+2}$. La propriété se transmet !

La suite $(a_n)$ est donc bien décroissante car $a_n > a_{n+1}$ pour tout $n$.

💡 Réussi : Tu sais maintenant prouver les variations d'une suite par récurrence !