Les bases du raisonnement par récurrence

Tu vas découvrir une technique de démonstration géniale qui fonctionne en deux étapes simples. Le principe de récurrence te permet de prouver des formules mathématiques pour tous les nombres entiers d'un coup !

Imagine que tu veux prouver qu'une propriété P$n$ est vraie pour tous les entiers n ≥ 1. Il suffit de montrer deux choses : d'abord que P(1) est vraie (initialisation), puis que si P$k$ est vraie, alors P$k+1$ l'est aussi (hérédité).

💡 Astuce : C'est exactement comme les dominos qui tombent - si le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent !

Exercice 1 : La somme des nombres impairs

Regarde ces égalités surprenantes : 1 = 1², 1+3 = 2², 1+3+5 = 3²... Tu vois le motif ? La somme des n premiers nombres impairs égale toujours n² !

Pour le prouver par récurrence, on vérifie d'abord que c'est vrai pour n=1 $1 = 1²$. Ensuite, on suppose que c'est vrai pour k et on montre que ça marche pour k+1.

L'astuce géniale : la somme des $k+1$ premiers nombres impairs = (somme des k premiers) + (le nombre impair suivant). Avec l'hypothèse de récurrence, ça donne k² + $2k+1$ = $k+1$² !

💡 À retenir : Le n-ième nombre impair s'écrit toujours 2n-1.

Exercice 2 : L'inégalité de Bernoulli

L'inégalité de Bernoulli dit que $1+x$ⁿ ≥ 1+nx quand x > -1 et n ≥ 0. Pourquoi cette condition x > -1 ? Parce qu'on va multiplier par $1+x$ pendant la démonstration !

Si x ≤ -1, alors 1+x ≤ 0. Multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens (≥ devient ≤). Avec x > -1, on garde 1+x > 0, donc l'inégalité garde son sens.

La preuve par récurrence fonctionne parfaitement : on multiplie l'hypothèse $1+x$ᵏ ≥ 1+kx par $1+x$, puis on utilise le fait que kx² ≥ 0 pour obtenir le résultat !

💡 Piège à éviter : Ne jamais oublier de vérifier les conditions avant de multiplier une inégalité !

Exercice 3 : Suite et divisibilité

Avec la suite récurrente u₀ = 7 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 2, tu calcules facilement : u₁ = 19, u₂ = 55. Maintenant observe uₙ - 1 : pour u₀, c'est 6 ; pour u₁, c'est 18 ; pour u₂, c'est 54.

Tous ces nombres sont divisibles par 6 ! C'est notre conjecture à prouver par récurrence. L'initialisation est évidente avec u₀ - 1 = 6.

Pour l'hérédité, l'astuce est de calculer uₖ₊₁ - 1 = 3uₖ - 2 - 1 = 3uₖ - 3 = 3$uₖ - 1$. Si uₖ - 1 est divisible par 6, alors uₖ₊₁ - 1 = 3$uₖ - 1$ l'est aussi !

💡 Technique : Exprime toujours le terme suivant en fonction du terme précédent pour utiliser l'hypothèse de récurrence.