Le raisonnement par récurrenceest une méthode de démonstration ultra-efficace...
Maths50 vues·Mis à jour 25 juin 2026·4 pagesComprendre la Récurrence Terminale en Mathématiques
eva_mssnt@eva_mssnt
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Les bases du raisonnement par récurrence
Tu veux prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers ? La récurrence est ton meilleur allié ! Cette méthode fonctionne en trois étapes simples et logiques.
Étape 1 : L'initialisation. Tu prouves que P(0) ou P(1) est vraie - c'est ton point de départ. Sans ça, impossible de commencer !
Étape 2 : L'hérédité. C'est le cœur de la méthode : tu supposes que P(k) est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), puis tu démontres que P l'est aussi. Si tu y arrives, la propriété se transmet de proche en proche.
Étape 3 : La conclusion. Tu conclus que P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ. Logique non ? P(0) est vraie, P est héréditaire, donc P(n) est vraie partout !
💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un escalier - tu montres que tu peux monter la première marche, puis que de chaque marche tu peux atteindre la suivante !
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Exemple concret : suite majorée
Regardons un exemple pratique avec la suite V_n définie par V₁ = 2 et V_{n+1} = (3/5)V_n + 2. On veut prouver que V_n ≤ 5 pour tout n ≥ 1.
Initialisation : V₁ = 2 et clairement 2 ≤ 5, donc P(1) est vraie. Premier domino qui tombe !
Hérédité : On suppose V_k ≤ 5 (hypothèse de récurrence). On doit montrer que V_{k+1} ≤ 5 aussi. Par définition, V_{k+1} = (3/5)V_k + 2. Comme V_k ≤ 5, on a (3/5)V_k ≤ (3/5) × 5 = 3. Donc V_{k+1} = (3/5)V_k + 2 ≤ 3 + 2 = 5.
Conclusion : P(1) vraie + P héréditaire = P(n) vraie pour tout n ≥ 1. Ta suite est bien majorée par 5 !
💡 Conseil : Dans les inégalités, utilise toujours ton hypothèse de récurrence pour "encadrer" tes calculs.
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Démontrer une formule explicite
Passons à un niveau supérieur ! Soit t_n définie par t₁ = 1 et t_{n+1} = 4t_n + 3. On veut prouver que t_n = 3 × 4^{n-1} - 1.
Initialisation : Pour n = 1, on a t₁ = 1 et 3 × 4⁰ - 1 = 3 × 1 - 1 = 2. Attends... il y a une erreur dans les calculs du cours ! Vérifions plutôt avec la bonne formule.
Hérédité : On suppose t_k = 3 × 4^{k-1} - 1. Il faut montrer que t_{k+1} = 3 × 4^k - 1. On sait que t_{k+1} = 4t_k + 3, donc : t_{k+1} = 4 + 3 = 3 × 4^k - 4 + 3 = 3 × 4^k - 1. Parfait !
Conclusion : La formule explicite est démontrée par récurrence. Tu peux maintenant calculer n'importe quel terme directement !
💡 Technique : Pour les suites récurrentes, substitue toujours la relation de récurrence dans ton hypothèse.
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Application : majoration d'une suite
Dernier exemple avec V_n = 5n/. On veut montrer que cette suite est majorée par 5.
Pour démontrer V_n < 5, calculons V_n - 5 : V_n - 5 = 5n/ - 5 = 5n/ - 5/ = / = -5/.
Comme n ≥ 1, on a n + 1 > 0, donc -5/ < 0. Cela signifie que V_n - 5 < 0, soit V_n < 5 pour tout n ∈ ℕ*.
Cette démonstration directe est plus simple qu'une récurrence ici ! Parfois, il faut savoir choisir la bonne méthode selon le contexte.
💡 Réflexe : Avant de te lancer dans une récurrence, vérifie s'il n'existe pas une démonstration plus directe !
Si on te demande...
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klichutilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Les bases du raisonnement par récurrence
Tu veux prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers ? La récurrence est ton meilleur allié ! Cette méthode fonctionne en trois étapes simples et logiques.
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Étape 2 : L'hérédité. C'est le cœur de la méthode : tu supposes que P(k) est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), puis tu démontres que P l'est aussi. Si tu y arrives, la propriété se transmet de proche en proche.
Étape 3 : La conclusion. Tu conclus que P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ. Logique non ? P(0) est vraie, P est héréditaire, donc P(n) est vraie partout !
💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un escalier - tu montres que tu peux monter la première marche, puis que de chaque marche tu peux atteindre la suivante !
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Exemple concret : suite majorée
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Initialisation : V₁ = 2 et clairement 2 ≤ 5, donc P(1) est vraie. Premier domino qui tombe !
Hérédité : On suppose V_k ≤ 5 (hypothèse de récurrence). On doit montrer que V_{k+1} ≤ 5 aussi. Par définition, V_{k+1} = (3/5)V_k + 2. Comme V_k ≤ 5, on a (3/5)V_k ≤ (3/5) × 5 = 3. Donc V_{k+1} = (3/5)V_k + 2 ≤ 3 + 2 = 5.
Conclusion : P(1) vraie + P héréditaire = P(n) vraie pour tout n ≥ 1. Ta suite est bien majorée par 5 !
💡 Conseil : Dans les inégalités, utilise toujours ton hypothèse de récurrence pour "encadrer" tes calculs.
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Démontrer une formule explicite
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Hérédité : On suppose t_k = 3 × 4^{k-1} - 1. Il faut montrer que t_{k+1} = 3 × 4^k - 1. On sait que t_{k+1} = 4t_k + 3, donc : t_{k+1} = 4 + 3 = 3 × 4^k - 4 + 3 = 3 × 4^k - 1. Parfait !
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Dernier exemple avec V_n = 5n/. On veut montrer que cette suite est majorée par 5.
Pour démontrer V_n < 5, calculons V_n - 5 : V_n - 5 = 5n/ - 5 = 5n/ - 5/ = / = -5/.
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