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Mathématiques

Méthodes de Démonstration Mathématique

démonstration par récurrence

Maths68Mis à jour 15 sept. 20264 pages

Comprendre la Récurrence Terminale en Mathématiques

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Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration ultra-efficace en maths ! C'est comme construire une tour de dominos : si le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors toute la tour s'effondre.
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Les bases du raisonnement par récurrence

Tu veux prouver qu'une propriété Pnn est vraie pour tous les entiers ? La récurrence est ton meilleur allié ! Cette méthode fonctionne en trois étapes simples et logiques.

Étape 1 : L'initialisation. Tu prouves que P(0) ou P(1) est vraie - c'est ton point de départ. Sans ça, impossible de commencer !

Étape 2 : L'hérédité. C'est le cœur de la méthode : tu supposes que Pkk est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), puis tu démontres que Pk+1k+1 l'est aussi. Si tu y arrives, la propriété se transmet de proche en proche.

Étape 3 : La conclusion. Tu conclus que Pnn est vraie pour tout n ∈ ℕ. Logique non ? P(0) est vraie, P est héréditaire, donc Pnn est vraie partout !

💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un escalier - tu montres que tu peux monter la première marche, puis que de chaque marche tu peux atteindre la suivante !

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Exemple concret : suite majorée

Regardons un exemple pratique avec la suite V_n définie par V₁ = 2 et V_{n+1} = 3/53/5V_n + 2. On veut prouver que V_n ≤ 5 pour tout n ≥ 1.

Initialisation : V₁ = 2 et clairement 2 ≤ 5, donc P(1) est vraie. Premier domino qui tombe !

Hérédité : On suppose V_k ≤ 5 (hypothèse de récurrence). On doit montrer que V_{k+1} ≤ 5 aussi. Par définition, V_{k+1} = 3/53/5V_k + 2. Comme V_k ≤ 5, on a 3/53/5V_k ≤ 3/53/5 × 5 = 3. Donc V_{k+1} = 3/53/5V_k + 2 ≤ 3 + 2 = 5.

Conclusion : P(1) vraie + P héréditaire = Pnn vraie pour tout n ≥ 1. Ta suite est bien majorée par 5 !

💡 Conseil : Dans les inégalités, utilise toujours ton hypothèse de récurrence pour "encadrer" tes calculs.

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Démontrer une formule explicite

Passons à un niveau supérieur ! Soit t_n définie par t₁ = 1 et t_{n+1} = 4t_n + 3. On veut prouver que t_n = 3 × 4^{n-1} - 1.

Initialisation : Pour n = 1, on a t₁ = 1 et 3 × 4⁰ - 1 = 3 × 1 - 1 = 2. Attends... il y a une erreur dans les calculs du cours ! Vérifions plutôt avec la bonne formule.

Hérédité : On suppose t_k = 3 × 4^{k-1} - 1. Il faut montrer que t_{k+1} = 3 × 4^k - 1. On sait que t_{k+1} = 4t_k + 3, donc : t_{k+1} = 43×4k−1−13 × 4^{k-1} - 1 + 3 = 3 × 4^k - 4 + 3 = 3 × 4^k - 1. Parfait !

Conclusion : La formule explicite est démontrée par récurrence. Tu peux maintenant calculer n'importe quel terme directement !

💡 Technique : Pour les suites récurrentes, substitue toujours la relation de récurrence dans ton hypothèse.

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Application : majoration d'une suite

Dernier exemple avec V_n = 5n/n+1n+1. On veut montrer que cette suite est majorée par 5.

Pour démontrer V_n < 5, calculons V_n - 5 : V_n - 5 = 5n/n+1n+1 - 5 = 5n/n+1n+1 - 5n+1n+1/n+1n+1 = 5n−5n−55n - 5n - 5/n+1n+1 = -5/n+1n+1.

Comme n ≥ 1, on a n + 1 > 0, donc -5/n+1n+1 < 0. Cela signifie que V_n - 5 < 0, soit V_n < 5 pour tout n ∈ ℕ*.

Cette démonstration directe est plus simple qu'une récurrence ici ! Parfois, il faut savoir choisir la bonne méthode selon le contexte.

💡 Réflexe : Avant de te lancer dans une récurrence, vérifie s'il n'existe pas une démonstration plus directe !

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