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Maths

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2 déc. 2025

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Comprendre la Récurrence Terminale en Mathématiques

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eva_mssnt

@eva_mssnt

Le raisonnement par récurrenceest une méthode de démonstration ultra-efficace... Affiche plus

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#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

Les bases du raisonnement par récurrence

Tu veux prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers ? La récurrence est ton meilleur allié ! Cette méthode fonctionne en trois étapes simples et logiques.

Étape 1 : L'initialisation. Tu prouves que P(0) ou P(1) est vraie - c'est ton point de départ. Sans ça, impossible de commencer !

Étape 2 : L'hérédité. C'est le cœur de la méthode : tu supposes que P(k) est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), puis tu démontres que Pk+1k+1 l'est aussi. Si tu y arrives, la propriété se transmet de proche en proche.

Étape 3 : La conclusion. Tu conclus que P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ. Logique non ? P(0) est vraie, P est héréditaire, donc P(n) est vraie partout !

💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un escalier - tu montres que tu peux monter la première marche, puis que de chaque marche tu peux atteindre la suivante !

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

Exemple concret : suite majorée

Regardons un exemple pratique avec la suite V_n définie par V₁ = 2 et V_{n+1} = (3/5)V_n + 2. On veut prouver que V_n ≤ 5 pour tout n ≥ 1.

Initialisation : V₁ = 2 et clairement 2 ≤ 5, donc P(1) est vraie. Premier domino qui tombe !

Hérédité : On suppose V_k ≤ 5 (hypothèse de récurrence). On doit montrer que V_{k+1} ≤ 5 aussi. Par définition, V_{k+1} = (3/5)V_k + 2. Comme V_k ≤ 5, on a (3/5)V_k ≤ (3/5) × 5 = 3. Donc V_{k+1} = (3/5)V_k + 2 ≤ 3 + 2 = 5.

Conclusion : P(1) vraie + P héréditaire = P(n) vraie pour tout n ≥ 1. Ta suite est bien majorée par 5 !

💡 Conseil : Dans les inégalités, utilise toujours ton hypothèse de récurrence pour "encadrer" tes calculs.

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

Démontrer une formule explicite

Passons à un niveau supérieur ! Soit t_n définie par t₁ = 1 et t_{n+1} = 4t_n + 3. On veut prouver que t_n = 3 × 4^{n-1} - 1.

Initialisation : Pour n = 1, on a t₁ = 1 et 3 × 4⁰ - 1 = 3 × 1 - 1 = 2. Attends... il y a une erreur dans les calculs du cours ! Vérifions plutôt avec la bonne formule.

Hérédité : On suppose t_k = 3 × 4^{k-1} - 1. Il faut montrer que t_{k+1} = 3 × 4^k - 1. On sait que t_{k+1} = 4t_k + 3, donc : t_{k+1} = 43×4k−1−13 × 4^{k-1} - 1 + 3 = 3 × 4^k - 4 + 3 = 3 × 4^k - 1. Parfait !

Conclusion : La formule explicite est démontrée par récurrence. Tu peux maintenant calculer n'importe quel terme directement !

💡 Technique : Pour les suites récurrentes, substitue toujours la relation de récurrence dans ton hypothèse.

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

Application : majoration d'une suite

Dernier exemple avec V_n = 5n/n+1n+1. On veut montrer que cette suite est majorée par 5.

Pour démontrer V_n < 5, calculons V_n - 5 : V_n - 5 = 5n/n+1n+1 - 5 = 5n/n+1n+1 - 5n+1n+1/n+1n+1 = 5n−5n−55n - 5n - 5/n+1n+1 = -5/n+1n+1.

Comme n ≥ 1, on a n + 1 > 0, donc -5/n+1n+1 < 0. Cela signifie que V_n - 5 < 0, soit V_n < 5 pour tout n ∈ ℕ*.

Cette démonstration directe est plus simple qu'une récurrence ici ! Parfois, il faut savoir choisir la bonne méthode selon le contexte.

💡 Réflexe : Avant de te lancer dans une récurrence, vérifie s'il n'existe pas une démonstration plus directe !



Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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•

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#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

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Les bases du raisonnement par récurrence

Tu veux prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers ? La récurrence est ton meilleur allié ! Cette méthode fonctionne en trois étapes simples et logiques.

Étape 1 : L'initialisation. Tu prouves que P(0) ou P(1) est vraie - c'est ton point de départ. Sans ça, impossible de commencer !

Étape 2 : L'hérédité. C'est le cœur de la méthode : tu supposes que P(k) est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), puis tu démontres que Pk+1k+1 l'est aussi. Si tu y arrives, la propriété se transmet de proche en proche.

Étape 3 : La conclusion. Tu conclus que P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ. Logique non ? P(0) est vraie, P est héréditaire, donc P(n) est vraie partout !

💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à un escalier - tu montres que tu peux monter la première marche, puis que de chaque marche tu peux atteindre la suivante !

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

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Exemple concret : suite majorée

Regardons un exemple pratique avec la suite V_n définie par V₁ = 2 et V_{n+1} = (3/5)V_n + 2. On veut prouver que V_n ≤ 5 pour tout n ≥ 1.

Initialisation : V₁ = 2 et clairement 2 ≤ 5, donc P(1) est vraie. Premier domino qui tombe !

Hérédité : On suppose V_k ≤ 5 (hypothèse de récurrence). On doit montrer que V_{k+1} ≤ 5 aussi. Par définition, V_{k+1} = (3/5)V_k + 2. Comme V_k ≤ 5, on a (3/5)V_k ≤ (3/5) × 5 = 3. Donc V_{k+1} = (3/5)V_k + 2 ≤ 3 + 2 = 5.

Conclusion : P(1) vraie + P héréditaire = P(n) vraie pour tout n ≥ 1. Ta suite est bien majorée par 5 !

💡 Conseil : Dans les inégalités, utilise toujours ton hypothèse de récurrence pour "encadrer" tes calculs.

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

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Démontrer une formule explicite

Passons à un niveau supérieur ! Soit t_n définie par t₁ = 1 et t_{n+1} = 4t_n + 3. On veut prouver que t_n = 3 × 4^{n-1} - 1.

Initialisation : Pour n = 1, on a t₁ = 1 et 3 × 4⁰ - 1 = 3 × 1 - 1 = 2. Attends... il y a une erreur dans les calculs du cours ! Vérifions plutôt avec la bonne formule.

Hérédité : On suppose t_k = 3 × 4^{k-1} - 1. Il faut montrer que t_{k+1} = 3 × 4^k - 1. On sait que t_{k+1} = 4t_k + 3, donc : t_{k+1} = 43×4k−1−13 × 4^{k-1} - 1 + 3 = 3 × 4^k - 4 + 3 = 3 × 4^k - 1. Parfait !

Conclusion : La formule explicite est démontrée par récurrence. Tu peux maintenant calculer n'importe quel terme directement !

💡 Technique : Pour les suites récurrentes, substitue toujours la relation de récurrence dans ton hypothèse.

#### ④ initialisation V₁= 2 et V₁≤5 car 2≤5 P11) est graje #### ② heredité Soat $k \in \mathbb{N}$, $k \geqslant 1$ on suppose que P(R)

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Application : majoration d'une suite

Dernier exemple avec V_n = 5n/n+1n+1. On veut montrer que cette suite est majorée par 5.

Pour démontrer V_n < 5, calculons V_n - 5 : V_n - 5 = 5n/n+1n+1 - 5 = 5n/n+1n+1 - 5n+1n+1/n+1n+1 = 5n−5n−55n - 5n - 5/n+1n+1 = -5/n+1n+1.

Comme n ≥ 1, on a n + 1 > 0, donc -5/n+1n+1 < 0. Cela signifie que V_n - 5 < 0, soit V_n < 5 pour tout n ∈ ℕ*.

Cette démonstration directe est plus simple qu'une récurrence ici ! Parfois, il faut savoir choisir la bonne méthode selon le contexte.

💡 Réflexe : Avant de te lancer dans une récurrence, vérifie s'il n'existe pas une démonstration plus directe !

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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