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856
•
9 janv. 2026
•
Hugo Bolmont
@mathinclass2.0
Le second degré, c'est l'étude des fonctions qui contiennent du... Affiche plus
Avant de plonger dans le second degré, tu dois maîtriser deux opérations essentielles : développer et factoriser. C'est comme apprendre à défaire et refaire un puzzle mathématique !
Développer, c'est passer de a à ab + ac. Par exemple, 3 = 6a - 9b + 12c. Pour les expressions avec deux parenthèses comme , tu multiplies chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, puis tu réduis en rassemblant les termes semblables.
Factoriser, c'est l'opération inverse : tu cherches le facteur commun. Dans 5x² + x, le facteur commun est x, donc 5x² + x = x. C'est comme sortir ce qui est en commun dans les deux termes !
💡 Astuce : Pour factoriser, demande-toi toujours "qu'est-ce qui se répète dans tous les termes ?"
Pour développer des produits comme , utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Ça donne x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2.
Les polynômes sont des expressions comme A(x) = 2x - 3 ou B(x) = 3x² - 4x + 7. Chaque polynôme a un degré qui correspond à la plus grande puissance de x. Ainsi, 3x² - 4x + 7 est de degré 2, et 6x³ - 1 est de degré 3.
Tu peux calculer la valeur d'un polynôme en remplaçant x par un nombre. Par exemple, si B(x) = 3x² - 4x + 7, alors B(2) = 3(2)² - 4(2) + 7 = 12 - 8 + 7 = 11.
📝 À retenir : Quand tu multiplies deux polynômes, leurs degrés s'additionnent !
Tu peux additionner, soustraire et multiplier des polynômes en regroupant les termes de même degré. Pour multiplier A(x) = 2x - 3 par B(x) = 3x² - 4x + 7, utilise la distributivité comme avec les nombres ordinaires.
Les fractions rationnelles sont des rapports de polynômes, comme A(x)/C(x). Parfois, tu peux les simplifier en factorisant le numérateur et le dénominateur, puis en supprimant les facteurs communs.
Une fonction polynôme du second degré a la forme f(x) = ax² + bx + c où a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas selon le signe de a.
🎯 Point clé : Le coefficient a détermine la forme de ta parabole : si a > 0, elle sourit (tournée vers le haut) ; si a < 0, elle fait la grimace (tournée vers le bas) !
Avec f(x) = x² - 5x + 2, tu découvres les propriétés d'une parabole. En calculant quelques valeurs et en traçant la courbe, tu observes que la parabole a un point le plus bas appelé sommet.
Le tableau de variation te montre que f décroît jusqu'au sommet, puis croît ensuite. L'abscisse du sommet se trouve à x = 2,5, et tu peux lire les coordonnées complètes du sommet sur le graphique.
Quand a > 0 (comme dans cet exemple), la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum au sommet. Ce minimum est la plus petite valeur que peut prendre f(x).
🔍 Méthode pratique : Pour trouver le sommet rapidement, calcule d'abord son abscisse, puis remplace cette valeur dans f(x) pour obtenir l'ordonnée !
Avec f(x) = -2x² + 4x + 3, tu vois l'effet d'un coefficient a négatif. La parabole est maintenant tournée vers le bas, et le sommet correspond au maximum de la fonction.
La formule du sommet est universelle : l'abscisse du sommet vaut toujours -b/(2a). Dans f(x) = ax² + bx + c, identifie les valeurs de a et b, puis applique cette formule.
Compare tes résultats : pour f(x) = x² - 5x + 2, tu as a = 1, b = -5, donc -b/(2a) = 5/2 = 2,5. Pour f(x) = -2x² + 4x + 3, tu as a = -2, b = 4, donc -b/(2a) = -4/(-4) = 1.
⚡ Règle d'or : La droite x = -b/(2a) est l'axe de symétrie de ta parabole. Tout ce qui se passe à droite de cette droite se répète symétriquement à gauche !
Une équation du second degré ax² + bx + c = 0 se résout graphiquement en cherchant les points où la parabole croise l'axe des x. Ces points d'intersection donnent les solutions (ou racines) de l'équation.
En observant les graphiques, tu constates que certaines équations ont deux solutions distinctes, d'autres une solution double, et certaines n'ont pas de solution réelle du tout.
Les solutions de x² - 4x + 3 = 0 sont x = 1 et x = 3 (deux points d'intersection). Pour 0,5x² - x + 0,5 = 0, la parabole ne fait qu'effleurer l'axe des x, donnant une solution double x = 1.
🎨 Visualisation : Imagine la parabole comme une balle lancée en l'air. Les solutions correspondent aux moments où elle touche le sol !
Quand tu connais les racines x₁ et x₂ d'un polynôme ax² + bx + c, tu peux l'écrire sous forme factorisée : f(x) = a. Cette forme est super pratique pour étudier le signe du polynôme !
Si le polynôme n'a qu'une racine x₀, sa forme factorisée devient f(x) = a². S'il n'a pas de racine réelle, il ne peut pas être factorisé avec des nombres réels.
Une astuce utile : si tu connais une racine d'une équation ax² + bx + c = 0, tu peux trouver l'autre en utilisant les relations entre les coefficients et les racines.
💪 Technique de pro : Une fois que tu as les racines, tu peux immédiatement écrire la forme factorisée sans calculs compliqués !
Prenons x² - 4x + 3 = 0 : les racines sont 1 et 3, donc x² - 4x + 3 = . Tu peux vérifier en développant !
Pour l'équation 0,5x² - x + 0,5 = 0, la seule racine est 1 (racine double), donc 0,5x² - x + 0,5 = 0,5². Le facteur 0,5 vient du coefficient de x².
Ta calculatrice peut résoudre directement ces équations, mais comprendre la méthode te permet de mieux visualiser et contrôler tes résultats.
🔧 Conseil pratique : Utilise ta calculatrice pour vérifier, mais apprends d'abord à résoudre à la main. C'est comme apprendre à conduire avant d'utiliser le GPS !
Pour déterminer le signe d'un polynôme du second degré, utilise sa représentation graphique. Les parties de la courbe au-dessus de l'axe des x correspondent aux valeurs positives, celles en dessous aux valeurs négatives.
Le tableau de signes résume ces informations : tu notes les racines et tu indiques le signe de f(x) dans chaque intervalle. Les changements de signe se produisent exactement aux racines.
Observe les différents cas : parfois la fonction est positive puis négative puis positive (deux racines distinctes), parfois elle garde le même signe avec juste un "contact" à l'axe (racine double).
🎯 Méthode infaillible : Repère d'abord les racines, puis regarde si la parabole s'ouvre vers le haut ou le bas pour déterminer le signe dans chaque zone !
Quand l'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions distinctes x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂), le signe du polynôme suit une règle simple : il est du signe opposé à a entre les racines, et du même signe que a à l'extérieur des racines.
Cette règle découle directement de la forme de la parabole. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut : elle est négative entre ses racines et positive ailleurs. Si a < 0, c'est l'inverse.
Pour une racine double, le polynôme garde le signe de a partout sauf au point de contact où il s'annule. Sans racine réelle, le polynôme garde constamment le signe de a.
🏆 Règle ultime : Mémorise "entre les racines, signe opposé à a ; ailleurs, même signe que a". Cette règle te sauvera dans tous les exercices !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Factoriser, c'est l'opération inverse : tu cherches le facteur commun. Dans 5x² + x, le facteur commun est x, donc 5x² + x = x. C'est comme sortir ce qui est en commun dans les deux termes !
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Les polynômes sont des expressions comme A(x) = 2x - 3 ou B(x) = 3x² - 4x + 7. Chaque polynôme a un degré qui correspond à la plus grande puissance de x. Ainsi, 3x² - 4x + 7 est de degré 2, et 6x³ - 1 est de degré 3.
Tu peux calculer la valeur d'un polynôme en remplaçant x par un nombre. Par exemple, si B(x) = 3x² - 4x + 7, alors B(2) = 3(2)² - 4(2) + 7 = 12 - 8 + 7 = 11.
📝 À retenir : Quand tu multiplies deux polynômes, leurs degrés s'additionnent !
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Les fractions rationnelles sont des rapports de polynômes, comme A(x)/C(x). Parfois, tu peux les simplifier en factorisant le numérateur et le dénominateur, puis en supprimant les facteurs communs.
Une fonction polynôme du second degré a la forme f(x) = ax² + bx + c où a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas selon le signe de a.
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Quand a > 0 (comme dans cet exemple), la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum au sommet. Ce minimum est la plus petite valeur que peut prendre f(x).
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La formule du sommet est universelle : l'abscisse du sommet vaut toujours -b/(2a). Dans f(x) = ax² + bx + c, identifie les valeurs de a et b, puis applique cette formule.
Compare tes résultats : pour f(x) = x² - 5x + 2, tu as a = 1, b = -5, donc -b/(2a) = 5/2 = 2,5. Pour f(x) = -2x² + 4x + 3, tu as a = -2, b = 4, donc -b/(2a) = -4/(-4) = 1.
⚡ Règle d'or : La droite x = -b/(2a) est l'axe de symétrie de ta parabole. Tout ce qui se passe à droite de cette droite se répète symétriquement à gauche !
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Une équation du second degré ax² + bx + c = 0 se résout graphiquement en cherchant les points où la parabole croise l'axe des x. Ces points d'intersection donnent les solutions (ou racines) de l'équation.
En observant les graphiques, tu constates que certaines équations ont deux solutions distinctes, d'autres une solution double, et certaines n'ont pas de solution réelle du tout.
Les solutions de x² - 4x + 3 = 0 sont x = 1 et x = 3 (deux points d'intersection). Pour 0,5x² - x + 0,5 = 0, la parabole ne fait qu'effleurer l'axe des x, donnant une solution double x = 1.
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Si le polynôme n'a qu'une racine x₀, sa forme factorisée devient f(x) = a². S'il n'a pas de racine réelle, il ne peut pas être factorisé avec des nombres réels.
Une astuce utile : si tu connais une racine d'une équation ax² + bx + c = 0, tu peux trouver l'autre en utilisant les relations entre les coefficients et les racines.
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Pour l'équation 0,5x² - x + 0,5 = 0, la seule racine est 1 (racine double), donc 0,5x² - x + 0,5 = 0,5². Le facteur 0,5 vient du coefficient de x².
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Le tableau de signes résume ces informations : tu notes les racines et tu indiques le signe de f(x) dans chaque intervalle. Les changements de signe se produisent exactement aux racines.
Observe les différents cas : parfois la fonction est positive puis négative puis positive (deux racines distinctes), parfois elle garde le même signe avec juste un "contact" à l'axe (racine double).
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Quand l'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions distinctes x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂), le signe du polynôme suit une règle simple : il est du signe opposé à a entre les racines, et du même signe que a à l'extérieur des racines.
Cette règle découle directement de la forme de la parabole. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut : elle est négative entre ses racines et positive ailleurs. Si a < 0, c'est l'inverse.
Pour une racine double, le polynôme garde le signe de a partout sauf au point de contact où il s'annule. Sans racine réelle, le polynôme garde constamment le signe de a.
🏆 Règle ultime : Mémorise "entre les racines, signe opposé à a ; ailleurs, même signe que a". Cette règle te sauvera dans tous les exercices !
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Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
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