Second degré - Spé maths (1re & Terminale) : cours clair, méthodes et exercices

lara🤍@didi_lara

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Trouver les intersections d'une parabole avec l'axe des abscisses ou...

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Forme générale et canonique

Définitions clés

Polynôme du second degré : Fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ .
Forme canonique : Écriture $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ qui révèle le sommet de la parabole.

Factorisation

Identité remarquable : La forme canonique permet de factoriser $f(x)$ en utilisant $A^2 - B^2$ .
Beispiel : $x^2+2x-8 = (x+1)^2-9 = (x+4)(x-2)$ .

💡 Astuce : Les coordonnées du sommet de la parabole sont données directement par $(\alpha ; \beta)$ dans la forme canonique.

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Le discriminant et les racines

Calculer le discriminant

Formule de Delta : $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines.
Sommet : Les coefficients permettent de trouver $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Résolution selon le signe de $\Delta$

$\Delta > 0$ : Deux solutions $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$\Delta = 0$ : Une solution unique $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .
$\Delta < 0$ : Aucune solution réelle.

💡 Attention : Si $\Delta$ est négatif, n'essaie pas de calculer sa racine carrée, elle n'existe pas dans les réels.

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Somme et produit des racines

Propriétés des racines

Somme $S$ : La somme des deux racines vaut toujours $S = -\frac{b}{a}$ .
Produit $P$ : Le produit des deux racines vaut toujours $P = \frac{c}{a}$ .

Utilité

Racine évidente : Permet de trouver mentalement une seconde racine si l'on en connaît déjà une.
Beispiel : Si $x_1 = 1$ est racine de $x^2-3x+2=0$ , alors $x_2 = P/1 = 2/1 = 2$ .

💡 Astuce : Vérifie toujours tes calculs de racines avec les formules simples de $S$ et $P$ pour éviter les erreurs de signe.

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Signe du trinôme

Règle des signes

Signe de $a$ : Le trinôme $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
$\Delta < 0$ : Le trinôme ne s'annule jamais et reste strictement du signe de $a$ partout.

Tableau de signes ( $\Delta > 0$ )

Entre les racines : Le trinôme est du signe opposé de $a$ sur l'intervalle $]x_1 ; x_2[$ .
Hors des racines : Le trinôme est du signe de $a$ sur $]-\infty ; x_1[\ \cup\ ]x_2 ; +\infty[$ .

💡 Astuce : Retiens le raccourci : "le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines".

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