Les ensembles de nombres

Tu connais déjà les nombres, mais maintenant il faut les classer correctement ! Les nombres entiers naturels (ℕ) sont tous les nombres positifs comme 0, 1, 2, 3... Les entiers relatifs (ℤ) incluent aussi les négatifs : -3, -2, -1, 0, 1, 2...

Les nombres décimaux (𝔻) ont un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 2,24 ou 5,47. Les rationnels (ℚ) s'écrivent sous forme de fraction, tandis que les réels (ℝ) regroupent absolument tous les nombres.

💡 Astuce : Retiens que chaque ensemble contient le précédent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Reconnaître un nombre décimal

Voici une technique infaillible pour savoir si une fraction donne un nombre décimal ! D'abord, écris ta fraction sous forme irréductible (simplifie-la au maximum).

Ensuite, décompose le dénominateur en puissances de nombres premiers. Si tu n'obtiens que des puissances de 2 et de 5, c'est décimal ! Sinon, ce n'est pas décimal.

💡 Exemple : 3/20 = 3/(4×5) = 3/(2²×5) → décimal car seulement des 2 et des 5 !

Les racines carrées

La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré égale a. Autrement dit, √a × √a = a. Attention : √$-5$ n'existe pas car on ne peut pas avoir de racine carrée d'un nombre négatif !

Les propriétés essentielles : √a × √b = √(a×b) et √a/√b = √(a/b). Pour résoudre x² = 3, tu auras deux solutions : x = √3 et x = -√3.

Pour une équation comme $x-3$² = 9, prends la racine des deux côtés puis pense aux deux solutions possibles : x-3 = 3 ou x-3 = -3.

💡 Piège à éviter : N'oublie jamais les deux solutions (positive et négative) quand tu résous une équation du second degré !

Les intervalles

Les intervalles permettent de représenter des ensembles de nombres sur une droite. Crochets fermés [a;b] quand les bornes sont incluses, crochets ouverts ]a;b[ quand elles ne le sont pas.

L'intersection A∩B (A inter B) correspond aux nombres qui appartiennent aux deux intervalles. L'union A∪B (A union B) regroupe tous les nombres des deux intervalles.

Pour l'infini, on utilise toujours des crochets ouverts : ]-∞;2[ ou [3;+∞[.

💡 Méthode : Dessine toujours sur une droite graduée pour visualiser tes intervalles !

Résoudre les inéquations

Les inéquations utilisent <, >, ≤ ou ≥. Les règles sont simples : tu peux additionner ou soustraire n'importe quel nombre sans changer le sens de l'inégalité.

Tu peux multiplier ou diviser par un nombre positif en gardant le même sens. Mais attention ! Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, tu dois changer le sens de l'inégalité.

N'oublie jamais d'écrire ta solution sous forme d'intervalle et de noter S = [ton intervalle].

💡 Piège classique : Quand tu divises par -1, < devient > et vice versa !

Résoudre une équation

Pour résoudre une équation comme 3x - 7 = 5 + x, suis ces étapes dans l'ordre ! D'abord, regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre. Quand un terme change de côté, il change de signe.

Ensuite, réduis chaque membre : 3x - x = 5 + 7 devient 2x = 12. Puis divise par le coefficient devant x pour isoler la variable : x = 6.

N'oublie jamais de noter ta solution : S = {6}. C'est obligatoire !

💡 Règle d'or : Un terme qui traverse le signe = change automatiquement de signe !

Vérifier sa solution

La vérification est l'étape finale indispensable ! Remplace x par ta solution dans l'équation de départ. Si les deux membres donnent le même résultat, tu as juste.

Dans notre exemple : 3×6 - 7 = 18 - 7 = 11 et 5 + 6 = 11. Les deux membres sont égaux, la solution est correcte !

Cette vérification te permet de repérer tes erreurs de calcul et te donne confiance en tes résultats.

💡 Conseil : Prends toujours 30 secondes pour vérifier, ça peut te sauver des points précieux !