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Maths302Mis à jour 8 sept. 20262 pages

Comprendre le signe des fonctions du second degré et affines

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Tu vas découvrir comment déterminer le signe d'une fonction, que ce soit pour une fonction du second degré (parabole) ou une fonction affine (droite). C'est super important pour résoudre des inéquations et comprendre le comportement des courbes !
Signe d'un fonction du second degré et d'un fonction affine – page 1

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Signe d'une fonction du 2nd degré

Pour une fonction du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, tout dépend du discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac et du signe de aa. C'est comme une recette : tu calcules le discriminant, tu regardes le signe de aa, et tu peux dresser ton tableau de signes.

Quand Δ>0\Delta > 0, tu as deux racines x1x_1 et x2x_2. Entre les racines, la fonction a le signe opposé à aa, et à l'extérieur, elle a le même signe que aa.

Si Δ=0\Delta = 0, il n'y a qu'une seule racine x0x_0, et la fonction garde toujours le signe de aa (elle ne fait que toucher l'axe des x). Quand Δ<0\Delta < 0, pas de racine du tout : la fonction garde constamment le signe de aa.

Astuce pratique : Retiens que la parabole "sourit" quand a>0a > 0 (tournée vers le haut) et "fait la tête" quand a<0a < 0 (tournée vers le bas) !

Signe d'un fonction du second degré et d'un fonction affine – page 2

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Signe d'une fonction affine

Avec les fonctions affines, c'est beaucoup plus simple ! Pour f(x)=ax+bf(x) = ax + b, tu n'as qu'à trouver la racine en résolvant ax+b=0ax + b = 0.

Prenons f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3 : ici a=−2<0a = -2 < 0, donc la droite est décroissante. Pour trouver où elle s'annule : −2x+3=0-2x + 3 = 0, donc x=32x = \frac{3}{2}. Comme la droite descend, elle est positive avant 32\frac{3}{2} et négative après.

Pour g(x)=5x+1g(x) = 5x + 1 : cette fois a=5>0a = 5 > 0, la droite est croissante. Elle s'annule quand 5x+1=05x + 1 = 0, soit x=−15x = -\frac{1}{5}. Puisqu'elle monte, elle est négative avant −15-\frac{1}{5} et positive après.

Mémo rapide : Droite qui monte (a>0a > 0) = négative puis positive. Droite qui descend (a<0a < 0) = positive puis négative !

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