Étude des Suites Arithmétiques et Géométriques

Les suites arithmétiques

Une suite arithmétique, c'est quand tu ajoutes toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Ce nombre qu'on ajoute, on l'appelle la raison r.

La formule de base est simple : Un+1 = Un + r. Par exemple, si tu commences à 2 et que ta raison est 3, tu auras : 2, 5, 8, 11, 14... Tu vois le pattern ?

Pour calculer n'importe quel terme directement, tu as plusieurs formules pratiques :

• Un = U0 + nr (si tu pars du terme 0)
• Un = U1 + $n-1$r (si tu pars du terme 1)
• Un = Up + $n-p$r (si tu pars de n'importe quel terme p)

Astuce : Si tu veux prouver qu'une suite N'EST PAS arithmétique, il suffit de montrer que 3 termes consécutifs ne respectent pas la même différence !

Graphiquement, les points de coordonnées (n, Un) forment une droite d'équation y = rx + constante.

Les suites géométriques et sommes

Pour les sommes d'entiers, retiens cette formule magique : 1+2+3+...+n = n$n+1$/2. Si ta somme ne commence pas par 1 (exemple : 7+8+...+50), tu calcules $1+2+...+50$ - $1+2+...+6$.

Une suite géométrique, c'est quand tu multiplies toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Ce nombre, c'est la raison q.

La formule est : an+1 = q × an. Par exemple, avec a0 = 0,5 et q = -3, tu obtiens : 0,5 → -1,5 → 4,5 → -13,5...

Pour calculer directement n'importe quel terme : an = a0 × qn. Dans notre exemple, an = 0,5 × $-3$n.

Point clé : La différence avec les suites arithmétiques ? Ici on multiplie au lieu d'additionner, et graphiquement ça donne une courbe exponentielle au lieu d'une droite !