Suites arithmétiques : les bases

Une suite arithmétique, c'est quand tu ajoutes toujours le même nombre (appelé raison r) pour passer d'un terme au suivant. Tu peux l'écrire de deux façons : en récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ ou directement $u_n = u_0 + nr$.

Le comportement de ta suite dépend du signe de r. Si r > 0, elle est croissante ; si r = 0, elle est constante ; si r < 0, elle est décroissante.

Pour prouver qu'une suite est arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ et vérifie que tu obtiens toujours la même valeur. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, trouve un contre-exemple où les écarts entre termes consécutifs sont différents.

Astuce pratique : Si $u_1 - u_0 = -3$ mais $u_2 - u_1 = 1$, alors ta suite n'est pas arithmétique car $-3 ≠ 1$ !

Sommes de suites arithmétiques

Calculer des sommes de termes, c'est là où ça devient vraiment utile ! La formule de base : $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Méthode 1 - Soustraction : Pour $11 + 12 + ... + 32$, calcule $(1+2+...+32) - (1+2+...+10)$. Ça donne $\frac{32×33}{2} - \frac{10×11}{2} = 528 - 55 = 473$.

Méthode 2 - Factorisation : Pour $5 + 10 + 15 + ... + 60$, factorise par 5 ! Tu obtiens $5(1+2+...+12) = 5×\frac{12×13}{2} = 390$.

Formule générale : $u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) × \frac{u_0 + u_n}{2}$ - nombre de termes fois moyenne du premier et dernier terme !

Suites géométriques : principe

Les suites géométriques fonctionnent par multiplication ! Tu multiplies toujours par le même nombre q (la raison) : $v_{n+1} = q × v_n$ ou $v_n = v_0 × q^n$.

Le comportement dépend de q et du signe de $v_0$. Si $v_0 > 0$ et $0 < q < 1$, la suite décroît vers 0. Si $q > 1$, elle explose vers l'infini ! Avec $q = 1$, elle reste constante.

Pour prouver qu'une suite est géométrique, vérifie que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ donne toujours la même valeur. Sinon, trouve un contre-exemple où les rapports sont différents.

Piège classique : Si $\frac{u_1}{u_0} = 5$ mais $\frac{u_2}{u_1} = 0,6$, alors $5 ≠ 0,6$ donc pas géométrique !

Sommes de suites géométriques

La formule magique : $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (avec $q ≠ 1$).

Cas simple avec $u_0 = 1$ : Pour $1+3+9+...+19683$, tu as $q=3$ et $n=8$, donc $\frac{1-3^9}{1-3} = 29524$.

Avec factorisation : Pour $25+100+400+...+409600$, factorise par 25 ! Tu obtiens $25(1+4+16+...+16384) = 25×\frac{4^8-1}{4-1} = 546125$.

Formule générale : $v_0 + v_1 + ... + v_n = v_0 × \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. C'est ton premier terme fois le facteur de sommation !

Méthode gagnante : Identifie d'abord $v_0$, $q$ et le nombre de termes, puis applique directement la formule !