Matières

Maths

2 déc. 2025

4 pages

Comprendre les suites arithmétiques et géométriques

Coconuts 31 @coconuts31

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Les suites arithmétiques et géométriques sont deux types de suites numériques super importantes en maths. Tu vas apprendre... Affiche plus

Suites arithmetiques et
Suites géométriques.
SUITES ARITHMETIQUES:
• recurrente: Un+1 =1+5
explicite: un = is + nr.
{. Si r> 0 alors la suit

Suites arithmétiques les bases

Une suite arithmétique, c'est quand tu ajoutes toujours le même nombre (appelé raison r) pour passer d'un terme au suivant. Tu peux l'écrire de deux façons en récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ ou directement $u_n = u_0 + nr$ .

Le comportement de ta suite dépend du signe de r. Si r > 0, elle est croissante ; si r = 0, elle est constante ; si r < 0, elle est décroissante.

Pour prouver qu'une suite est arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ et vérifie que tu obtiens toujours la même valeur. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, trouve un contre-exemple où les écarts entre termes consécutifs sont différents.

Astuce pratique Si $u_1 - u_0 = -3$ mais $u_2 - u_1 = 1$ , alors ta suite n'est pas arithmétique car $-3 ≠ 1$ !

Sommes de suites arithmétiques

Calculer des sommes de termes, c'est là où ça devient vraiment utile ! La formule de base $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Méthode 1 - Soustraction Pour $11 + 12 + ... + 32$ , calcule $(1+2+...+32) - (1+2+...+10)$ . Ça donne $\frac{32×33}{2} - \frac{10×11}{2} = 528 - 55 = 473$ .

Méthode 2 - Factorisation Pour $5 + 10 + 15 + ... + 60$ , factorise par 5 ! Tu obtiens $5(1+2+...+12) = 5×\frac{12×13}{2} = 390$ .

Formule générale $u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) × \frac{u_0 + u_n}{2}$ - nombre de termes fois moyenne du premier et dernier terme !

Suites géométriques principe

Les suites géométriques fonctionnent par multiplication ! Tu multiplies toujours par le même nombre q (la raison) $v_{n+1} = q × v_n$ ou $v_n = v_0 × q^n$ .

Le comportement dépend de q et du signe de $v_0$ . Si $v_0 > 0$ et $0 < q < 1$ , la suite décroît vers 0. Si $q > 1$ , elle explose vers l'infini ! Avec $q = 1$ , elle reste constante.

Pour prouver qu'une suite est géométrique, vérifie que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ donne toujours la même valeur. Sinon, trouve un contre-exemple où les rapports sont différents.

Piège classique Si $\frac{u_1}{u_0} = 5$ mais $\frac{u_2}{u_1} = 0,6$ , alors $5 ≠ 0,6$ donc pas géométrique !

Sommes de suites géométriques

La formule magique $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (avec $q ≠ 1$).

Cas simple avec $u_0 = 1$ Pour $1+3+9+...+19683$ , tu as $q=3$ et $n=8$ , donc $\frac{1-3^9}{1-3} = 29524$ .

Avec factorisation Pour $25+100+400+...+409600$ , factorise par 25 ! Tu obtiens $25(1+4+16+...+16384) = 25×\frac{4^8-1}{4-1} = 546125$ .

Formule générale $v_0 + v_1 + ... + v_n = v_0 × \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ . C'est ton premier terme fois le facteur de sommation !

Méthode gagnante Identifie d'abord $v_0$ , $q$ et le nombre de termes, puis applique directement la formule !

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Suites arithmétiques : les bases

Une suite arithmétique, c'est quand tu ajoutes toujours le même nombre (appelé raison r) pour passer d'un terme au suivant. Tu peux l'écrire de deux façons : en récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ ou directement $u_n = u_0 + nr$ .

Le comportement de ta suite dépend du signe de r. Si r > 0, elle est croissante ; si r = 0, elle est constante ; si r < 0, elle est décroissante.

Astuce pratique : Si $u_1 - u_0 = -3$ mais $u_2 - u_1 = 1$ , alors ta suite n'est pas arithmétique car $-3 ≠ 1$ !

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Sommes de suites arithmétiques

Calculer des sommes de termes, c'est là où ça devient vraiment utile ! La formule de base : $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Méthode 1 - Soustraction : Pour $11 + 12 + ... + 32$ , calcule $(1+2+...+32) - (1+2+...+10)$ . Ça donne $\frac{32×33}{2} - \frac{10×11}{2} = 528 - 55 = 473$ .

Méthode 2 - Factorisation : Pour $5 + 10 + 15 + ... + 60$ , factorise par 5 ! Tu obtiens $5(1+2+...+12) = 5×\frac{12×13}{2} = 390$ .

Formule générale : $u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) × \frac{u_0 + u_n}{2}$ - nombre de termes fois moyenne du premier et dernier terme !

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Suites géométriques : principe

Les suites géométriques fonctionnent par multiplication ! Tu multiplies toujours par le même nombre q (la raison) : $v_{n+1} = q × v_n$ ou $v_n = v_0 × q^n$ .

Le comportement dépend de q et du signe de $v_0$ . Si $v_0 > 0$ et $0 < q < 1$ , la suite décroît vers 0. Si $q > 1$ , elle explose vers l'infini ! Avec $q = 1$ , elle reste constante.

Pour prouver qu'une suite est géométrique, vérifie que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ donne toujours la même valeur. Sinon, trouve un contre-exemple où les rapports sont différents.

Piège classique : Si $\frac{u_1}{u_0} = 5$ mais $\frac{u_2}{u_1} = 0,6$ , alors $5 ≠ 0,6$ donc pas géométrique !

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Sommes de suites géométriques

La formule magique : $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (avec $q ≠ 1$).

Cas simple avec $u_0 = 1$ : Pour $1+3+9+...+19683$ , tu as $q=3$ et $n=8$ , donc $\frac{1-3^9}{1-3} = 29524$ .

Avec factorisation : Pour $25+100+400+...+409600$ , factorise par 25 ! Tu obtiens $25(1+4+16+...+16384) = 25×\frac{4^8-1}{4-1} = 546125$ .

Formule générale : $v_0 + v_1 + ... + v_n = v_0 × \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ . C'est ton premier terme fois le facteur de sommation !

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