Définition et propriétés des suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre appelé raison. Par exemple, si on part de 3 et qu'on ajoute 5 à chaque fois, on obtient la suite (3, 8, 13, 18...).

Mathématiquement, une suite arithmétique se définit par :

• un premier terme $u_0$
• une relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ où $r$ est la raison

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend directement de sa raison :

• Si $r > 0$, la suite est croissante
• Si $r < 0$, la suite est décroissante

💡 Astuce graphique : Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont toujours alignés, formant une droite. C'est logique puisqu'on ajoute toujours la même valeur d'un terme à l'autre !

Un exemple illustratif est une suite de raison -0,5 et de premier terme 4, qui décroît régulièrement (4, 3.5, 3, 2.5, 2...).

Comment démontrer qu'une suite est arithmétique

Pour prouver qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique, il suffit de montrer que la différence entre deux termes consécutifs est constante : $u_{n+1} - u_n = r$ pour tout $n$, avec $r \in \mathbb{R}$.

Il existe deux méthodes efficaces pour cette démonstration :

Méthode 1 : Calculer $u_{n+1}$ et vérifier qu'on peut l'écrire sous la forme $u_n + r$. Par exemple, avec $u_n = -6n + 7$, on calcule $u_{n+1} = -6(n+1)+7 = -6n-6+7 = -6n+7-6 = u_n - 6$.

Méthode 2 : Calculer directement la différence $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'elle est constante. Dans notre exemple : $u_{n+1} - u_n = [-6(n+1)+7] - [-6n+7] = -6n-6+7+6n-7 = -6$.

🔑 Point clé : Une suite arithmétique est reconnaissable par sa régularité parfaite. Quand tu constates que tu ajoutes ou soustrais toujours le même nombre pour passer d'un terme à l'autre, tu as identifié une suite arithmétique !

Ainsi, notre suite est bien arithmétique de raison -6, car chaque terme est obtenu en soustrayant 6 au terme précédent.