Suites arithmétiques et géométriques
Ce document présente les concepts fondamentaux des suites arithmétiques et géométriques, en fournissant des définitions, des formules et des propriétés essentielles pour chaque type de suite.
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est définie comme une suite (Un) où il existe un réel r tel que Un+1 = Un + r pour tout n.
Définition: Une suite est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Formule explicite
Pour une suite arithmétique de premier terme U0 et de raison r, la formule explicite est :
Un = U0 + nr
Plus généralement, pour n > p (p ∈ ℕ) :
Un = Up + (n-p)r
Exemple: Pour trouver le 30ème terme d'une suite arithmétique de premier terme U1 = -3 et de raison r = -1, on utilise la formule : U30 = U1 + (30-1)r = -3 + 29 × (-1) = -32
Sens de variation
Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend de sa raison r :
- Si r > 0 : strictement croissante
- Si r < 0 : strictement décroissante
- Si r = 0 : constante
Somme des premiers termes
La formule somme suite arithmétique pour les n premiers termes est :
Sn = n(U1 + Un) / 2
où U1 est le premier terme et Un le dernier terme de la somme.
Suites géométriques
Une suite géométrique est définie comme une suite (Un) où il existe un réel q tel que Un+1 = Un × q pour tout n.
Définition: Une suite est géométrique si et seulement si le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Expression explicite
Pour une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q, la formule explicite suite géométrique est :
Un = U0 × q^n
Plus généralement, pour n > p (p ∈ ℕ) :
Un = Up × q^(n-p)
Variation d'une suite géométrique
Le sens de variation d'une suite géométrique dépend de sa raison q et de son premier terme U0 :
- Si q > 1 : strictement croissante (pour U0 > 0) ou strictement décroissante (pour U0 < 0)
- Si 0 < q < 1 : strictement décroissante (pour U0 > 0) ou strictement croissante (pour U0 < 0)
- Si q = 1 : constante
- Si q < 0 : non monotone
Somme des premiers termes
La formule somme suite géométrique pour les n premiers termes est :
Sn = U1 × (1 - q^n) / (1 - q) si q ≠ 1
Sn = n × U1 si q = 1
où U1 est le premier terme et q la raison de la suite géométrique.
Highlight: Ces formules sont essentielles pour résoudre des problèmes impliquant des suites arithmétiques et géométriques dans divers domaines des mathématiques et de leurs applications.
