Arithmétique vs Géométrique

Suite arithmétique

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours un nombre réel $r$ appelé raison.

• Formule de récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$
• Formule explicite : $u_n = u_0 + n \times r$
• Sens de variation : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.

Suite géométrique

On passe d'un terme au suivant en multipliant par un réel $q$ (la raison).

• Formule de récurrence : $v_{n+1} = v_n \times q$
• Formule explicite : $v_n = v_0 \times q^n$

💡 Astuce : Les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés sur une droite.

Sommes de termes

Somme arithmétique

Elle correspond à la somme des premiers entiers naturels.

• Formule : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Somme géométrique

Elle permet de sommer les puissances successives de la raison $q$ (avec $q \neq 1$).

• Formule : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Exemple : Pour $1 + 2 + 2^2 + 2^3$ : $\frac{1-2^4}{1-2} = \frac{-15}{-1} = 15$.

💡 Attention : N'oublie pas que la puissance au numérateur est $n+1$, ce qui correspond au nombre total de termes de la somme.