Méthodes de démonstration par récurrence

La récurrence est une technique puissante pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les termes d'une suite. La première méthode consiste à partir du membre de l'égalité au rang k+1.

Voici les étapes clés:

1. Initialisation: On vérifie que la propriété P(n) est vraie pour le premier terme
2. Hérédité: On suppose P(k) vraie et on démontre P$k+1$
3. Conclusion: La propriété est vraie pour tous les termes

Par exemple, pour démontrer que $u_n = 3 \times 2^{n-1} - 1$ avec $u_1 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$:

• On vérifie d'abord pour $n = 4$: $u_4 = 2$ et $3 \times 2^{4-1} - 1 = 3 \times 2^3 - 1 = 24 - 1 = 23$
• Puis on suppose que $u_k = 3 \times 2^{k-1} - 1$ et on calcule $u_{k+1}$
• En développant: $u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(3 \times 2^{k-1} - 1) + 1 = 3 \times 2^k - 1$

💡 Astuce: Dans une démonstration par récurrence, il est essentiel de bien identifier la propriété à démontrer et de suivre rigoureusement les étapes d'initialisation et d'hérédité.

Récurrence pour les inégalités

La deuxième méthode s'applique aux inégalités. Elle consiste à partir de l'inégalité au rang k et à utiliser les règles de calcul sur les inégalités.

Pour démontrer que $u_n \geq 4$ avec $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{5u_n - 4}$:

• Initialisation: $u_0 = 5 \geq 4$ ✓
• Hérédité: Si $u_k \geq 4$, alors $5u_k \geq 20$et donc$5u_k - 4 \geq 16$
• Ce qui donne $\sqrt{5u_k - 4} \geq 4$, soit $u_{k+1} \geq 4$ ✓

La troisième méthode utilise la croissance d'une fonction $g$ lorsque $u_{n+1} = g(u_n)$:

1. Identifier la fonction $g$ telle que $u_{n+1} = g(u_n)$
2. Étudier la monotonie de $g$ (calculer sa dérivée)
3. Utiliser cette monotonie dans l'hérédité

Exemple avec $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n+1}$:

• $g(x) = \frac{2x}{x+1}$ est strictement croissante $g'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$
• Si $u_k > 1$, alors $g(u_k) > g(1)$, donc $u_{k+1} > 1$

💡 Pour choisir la bonne méthode de récurrence, analyse d'abord la forme de ta suite et de la propriété à démontrer - les inégalités appellent souvent la deuxième ou troisième méthode.

Limites de suites

Les limites finies caractérisent les suites convergentes. Pour une suite convergente:

• La limite $l$ est unique
• Les termes se rapprochent indéfiniment de $l$, restant dans un intervalle $]l-\epsilon, l+\epsilon[$

Les limites infinies concernent certaines suites divergentes:

• On peut avoir $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (les termes dépassent tout nombre A)
• Ou $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ (les termes deviennent inférieurs à tout A)
• Certaines suites n'ont pas de limite comme $(-1)^n$

Pour calculer des limites de quotients, deux techniques principales:

1. La factorisation forcée: on factorise par la plus grande puissance

   • Par exemple: $\lim_{n \to \infty} \frac{5n-2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(5-\frac{2}{n})}{n(3+\frac{1}{n})} = \frac{5}{3}$

2. Les suites de référence: utiliser les comportements connus

   • $\lim_{n \to \infty} K\alpha^n = +\infty$ si $\alpha > 1$
   • $\lim_{n \to \infty} \frac{K}{n^p} = 0$ pour tout $p > 0$

💡 Dans l'étude des limites de quotients, la factorisation par la plus grande puissance est souvent la clé pour transformer l'expression en une forme dont la limite est facilement identifiable.