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5 déc. 2025

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Cours sur les Suites - Partie 1

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Laeti @leticiadrg

La récurrence et les limites de suites sont des concepts essentiels en mathématiques. Ces méthodes permettent de démontrer... Affiche plus

te exo =rédaction complète à realiser Di partie METHODE 1 4 demontrer une égalité par recurrence en partant de l'un des membres de l'égalité

Méthodes de démonstration par récurrence

La récurrence est une technique puissante pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les termes d'une suite. La première méthode consiste à partir du membre de l'égalité au rang k+1.

Voici les étapes clés

  1. Initialisation On vérifie que la propriété P(n) est vraie pour le premier terme
  2. Hérédité On suppose P(k) vraie et on démontre Pk+1k+1
  3. Conclusion La propriété est vraie pour tous les termes

Par exemple, pour démontrer que un=3×2n−1−1u_n = 3 \times 2^{n-1} - 1 avec u1=2u_1 = 2 et un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n + 1

  • On vérifie d'abord pour n=4n = 4 u4=2u_4 = 2 et 3×24−1−1=3×23−1=24−1=233 \times 2^{4-1} - 1 = 3 \times 2^3 - 1 = 24 - 1 = 23
  • Puis on suppose que uk=3×2k−1−1u_k = 3 \times 2^{k-1} - 1 et on calcule uk+1u_{k+1}
  • En développant uk+1=2uk+1=2(3×2k−1−1)+1=3×2k−1u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(3 \times 2^{k-1} - 1) + 1 = 3 \times 2^k - 1

💡 Astuce Dans une démonstration par récurrence, il est essentiel de bien identifier la propriété à démontrer et de suivre rigoureusement les étapes d'initialisation et d'hérédité.

te exo =rédaction complète à realiser Di partie METHODE 1 4 demontrer une égalité par recurrence en partant de l'un des membres de l'égalité

Récurrence pour les inégalités

La deuxième méthode s'applique aux inégalités. Elle consiste à partir de l'inégalité au rang k et à utiliser les règles de calcul sur les inégalités.

Pour démontrer que un≥4u_n \geq 4 avec u0=5u_0 = 5 et un+1=5un−4u_{n+1} = \sqrt{5u_n - 4}

  • Initialisation u0=5≥4u_0 = 5 \geq 4 ✓
  • Hérédité Si uk≥4u_k \geq 4, alors 5uk≥205u_k \geq 20 et donc 5uk−4≥165u_k - 4 \geq 16
  • Ce qui donne 5uk−4≥4\sqrt{5u_k - 4} \geq 4, soit uk+1≥4u_{k+1} \geq 4 ✓

La troisième méthode utilise la croissance d'une fonction gg lorsque un+1=g(un)u_{n+1} = g(u_n)

  1. Identifier la fonction gg telle que un+1=g(un)u_{n+1} = g(u_n)
  2. Étudier la monotonie de gg (calculer sa dérivée)
  3. Utiliser cette monotonie dans l'hérédité

Exemple avec u0=3u_0 = 3 et un+1=2unun+1u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n+1}

  • g(x)=2xx+1g(x) = \frac{2x}{x+1} est strictement croissante $g'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$
  • Si uk>1u_k > 1, alors g(uk)>g(1)g(u_k) > g(1), donc uk+1>1u_{k+1} > 1

💡 Pour choisir la bonne méthode de récurrence, analyse d'abord la forme de ta suite et de la propriété à démontrer - les inégalités appellent souvent la deuxième ou troisième méthode.

te exo =rédaction complète à realiser Di partie METHODE 1 4 demontrer une égalité par recurrence en partant de l'un des membres de l'égalité

Limites de suites

Les limites finies caractérisent les suites convergentes. Pour une suite convergente

  • La limite ll est unique
  • Les termes se rapprochent indéfiniment de ll, restant dans un intervalle ]l−ϵ,l+ϵ[]l-\epsilon, l+\epsilon[

Les limites infinies concernent certaines suites divergentes

  • On peut avoir lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty (les termes dépassent tout nombre A)
  • Ou lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty (les termes deviennent inférieurs à tout A)
  • Certaines suites n'ont pas de limite comme $(-1)^n$

Pour calculer des limites de quotients, deux techniques principales

  1. La factorisation forcée on factorise par la plus grande puissance

    • Par exemple lim⁡n→∞5n−23n+1=lim⁡n→∞n(5−2n)n(3+1n)=53\lim_{n \to \infty} \frac{5n-2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(5-\frac{2}{n})}{n(3+\frac{1}{n})} = \frac{5}{3}

  2. Les suites de référence utiliser les comportements connus

    • lim⁡n→∞Kαn=+∞\lim_{n \to \infty} K\alpha^n = +\infty si α>1\alpha > 1
    • lim⁡n→∞Knp=0\lim_{n \to \infty} \frac{K}{n^p} = 0 pour tout p>0p > 0

💡 Dans l'étude des limites de quotients, la factorisation par la plus grande puissance est souvent la clé pour transformer l'expression en une forme dont la limite est facilement identifiable.

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

3

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

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Leny

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Sudenaz Ocak

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Cours sur les Suites - Partie 1

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Laeti

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La récurrence et les limites de suites sont des concepts essentiels en mathématiques. Ces méthodes permettent de démontrer des propriétés sur les suites numériques et d'analyser leur comportement à l'infini. Tu découvriras comment structurer une démonstration efficace pour résoudre divers... Affiche plus

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Méthodes de démonstration par récurrence

La récurrence est une technique puissante pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les termes d'une suite. La première méthode consiste à partir du membre de l'égalité au rang k+1.

Voici les étapes clés:

  1. Initialisation: On vérifie que la propriété P(n) est vraie pour le premier terme
  2. Hérédité: On suppose P(k) vraie et on démontre Pk+1k+1
  3. Conclusion: La propriété est vraie pour tous les termes

Par exemple, pour démontrer que un=3×2n−1−1u_n = 3 \times 2^{n-1} - 1 avec u1=2u_1 = 2 et un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n + 1:

  • On vérifie d'abord pour n=4n = 4: u4=2u_4 = 2 et 3×24−1−1=3×23−1=24−1=233 \times 2^{4-1} - 1 = 3 \times 2^3 - 1 = 24 - 1 = 23
  • Puis on suppose que uk=3×2k−1−1u_k = 3 \times 2^{k-1} - 1 et on calcule uk+1u_{k+1}
  • En développant: uk+1=2uk+1=2(3×2k−1−1)+1=3×2k−1u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(3 \times 2^{k-1} - 1) + 1 = 3 \times 2^k - 1

💡 Astuce: Dans une démonstration par récurrence, il est essentiel de bien identifier la propriété à démontrer et de suivre rigoureusement les étapes d'initialisation et d'hérédité.

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Récurrence pour les inégalités

La deuxième méthode s'applique aux inégalités. Elle consiste à partir de l'inégalité au rang k et à utiliser les règles de calcul sur les inégalités.

Pour démontrer que un≥4u_n \geq 4 avec u0=5u_0 = 5 et un+1=5un−4u_{n+1} = \sqrt{5u_n - 4}:

  • Initialisation: u0=5≥4u_0 = 5 \geq 4 ✓
  • Hérédité: Si uk≥4u_k \geq 4, alors 5uk≥205u_k \geq 20 et donc 5uk−4≥165u_k - 4 \geq 16
  • Ce qui donne 5uk−4≥4\sqrt{5u_k - 4} \geq 4, soit uk+1≥4u_{k+1} \geq 4 ✓

La troisième méthode utilise la croissance d'une fonction gg lorsque un+1=g(un)u_{n+1} = g(u_n):

  1. Identifier la fonction gg telle que un+1=g(un)u_{n+1} = g(u_n)
  2. Étudier la monotonie de gg (calculer sa dérivée)
  3. Utiliser cette monotonie dans l'hérédité

Exemple avec u0=3u_0 = 3 et un+1=2unun+1u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n+1}:

  • g(x)=2xx+1g(x) = \frac{2x}{x+1} est strictement croissante $g'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$
  • Si uk>1u_k > 1, alors g(uk)>g(1)g(u_k) > g(1), donc uk+1>1u_{k+1} > 1

💡 Pour choisir la bonne méthode de récurrence, analyse d'abord la forme de ta suite et de la propriété à démontrer - les inégalités appellent souvent la deuxième ou troisième méthode.

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Limites de suites

Les limites finies caractérisent les suites convergentes. Pour une suite convergente:

  • La limite ll est unique
  • Les termes se rapprochent indéfiniment de ll, restant dans un intervalle ]l−ϵ,l+ϵ[]l-\epsilon, l+\epsilon[

Les limites infinies concernent certaines suites divergentes:

  • On peut avoir lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty (les termes dépassent tout nombre A)
  • Ou lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty (les termes deviennent inférieurs à tout A)
  • Certaines suites n'ont pas de limite comme $(-1)^n$

Pour calculer des limites de quotients, deux techniques principales:

  1. La factorisation forcée: on factorise par la plus grande puissance

    • Par exemple: lim⁡n→∞5n−23n+1=lim⁡n→∞n(5−2n)n(3+1n)=53\lim_{n \to \infty} \frac{5n-2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(5-\frac{2}{n})}{n(3+\frac{1}{n})} = \frac{5}{3}

  2. Les suites de référence: utiliser les comportements connus

    • lim⁡n→∞Kαn=+∞\lim_{n \to \infty} K\alpha^n = +\infty si α>1\alpha > 1
    • lim⁡n→∞Knp=0\lim_{n \to \infty} \frac{K}{n^p} = 0 pour tout p>0p > 0

💡 Dans l'étude des limites de quotients, la factorisation par la plus grande puissance est souvent la clé pour transformer l'expression en une forme dont la limite est facilement identifiable.

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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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