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358
•
29 nov. 2025
•
Léandre
@landre_wquz
Tu vas découvrir les suites et le principe de récurrence,... Affiche plus
Tu vas maîtriser le principe de récurrence ! C'est comme un jeu de dominos : si tu prouves que le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent.
La méthode comporte trois étapes simples : l'initialisation (vérifier que P(n₀) est vraie), l'hérédité , et la conclusion. Une fois ces étapes validées, ta propriété est démontrée pour tous les entiers !
Pour les limites de suites, retiens que quand une suite converge vers un nombre réel l, tous ses termes se rapprochent de l à partir d'un certain rang. Si elle diverge vers +∞, ses termes deviennent plus grands que n'importe quel nombre A.
💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à une recette : initialisation + hérédité = démonstration complète !
Les opérations sur les limites suivent des règles précises ! Pour l'addition, si lim Un = l et lim Vn = l', alors lim = l + l'. Attention aux formes indéterminées (F.I.) comme ∞ - ∞ : dans ce cas, factorise par le terme prépondérant.
Pour les produits et quotients, applique la règle des signes habituelle. Quand tu multiplies par 0, tu obtiens 0. Quand tu divises l'infini par l'infini, c'est une forme indéterminée à résoudre.
Le théorème de comparaison est ton allié : si Un ≥ Vn et lim Un = +∞, alors lim Vn = +∞ aussi. Le théorème d'encadrement fonctionne comme un sandwich : si Un ≤ Vn ≤ Wn et les extrêmes ont la même limite l, alors Vn tend aussi vers l.
⚠️ Important : Face à une forme indéterminée, factorise toujours par le terme qui "grandit le plus vite" !
Voici une démonstration par récurrence concrète avec l'inégalité de Bernoulli ! Tu vas prouver que ⁿ ≥ 1+na pour a > 0 et n ≥ 0.
Initialisation : Pour n = 0, ⁰ = 1 ≥ 1+0×a = 1. C'est vrai ! Hérédité : On suppose ⁿ ≥ 1+na vraie, puis on multiplie par : ⁿ⁺¹ ≥ = 1+a+na².
Comme na² ≥ 0, on obtient ⁿ⁺¹ ≥ 1+a. L'hérédité est prouvée ! Conclusion : L'inégalité est vraie pour tout n ≥ 0.
Cette inégalité nous aide à démontrer que si q > 1, alors lim qⁿ = +∞, car qⁿ grandit plus vite que n.
🎯 Méthode : Dans l'hérédité, manipule algébriquement ton hypothèse pour arriver à P !
Les suites géométriques qⁿ ont des comportements bien définis ! Si q > 1, alors lim qⁿ = +∞ (grâce à l'inégalité de Bernoulli). Si -1 < q < 1, alors lim qⁿ = 0. Si q = 1, la limite est 1.
Attention aux cas particuliers : si q ≤ -1, la suite n'a pas de limite car elle oscille entre valeurs positives et négatives.
Les suites monotones sont plus prévisibles. Une suite est majorée si Un ≤ M pour tout n, minorée si Un ≥ m pour tout n, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
🔑 Règle d'or : Une suite croissante et majorée converge toujours ! C'est un théorème fondamental à retenir.
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
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Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
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Thomas R
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Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Khady
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Claire
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Raoul
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Léandre
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Tu vas découvrir les suites et le principe de récurrence, des outils puissants pour comprendre les mathématiques ! Ces concepts te permettront de démontrer des propriétés et d'analyser le comportement des suites quand n devient très grand.
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Tu vas maîtriser le principe de récurrence ! C'est comme un jeu de dominos : si tu prouves que le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent.
La méthode comporte trois étapes simples : l'initialisation (vérifier que P(n₀) est vraie), l'hérédité , et la conclusion. Une fois ces étapes validées, ta propriété est démontrée pour tous les entiers !
Pour les limites de suites, retiens que quand une suite converge vers un nombre réel l, tous ses termes se rapprochent de l à partir d'un certain rang. Si elle diverge vers +∞, ses termes deviennent plus grands que n'importe quel nombre A.
💡 Astuce : Pense à la récurrence comme à une recette : initialisation + hérédité = démonstration complète !
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Le théorème de comparaison est ton allié : si Un ≥ Vn et lim Un = +∞, alors lim Vn = +∞ aussi. Le théorème d'encadrement fonctionne comme un sandwich : si Un ≤ Vn ≤ Wn et les extrêmes ont la même limite l, alors Vn tend aussi vers l.
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Voici une démonstration par récurrence concrète avec l'inégalité de Bernoulli ! Tu vas prouver que ⁿ ≥ 1+na pour a > 0 et n ≥ 0.
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Comme na² ≥ 0, on obtient ⁿ⁺¹ ≥ 1+a. L'hérédité est prouvée ! Conclusion : L'inégalité est vraie pour tout n ≥ 0.
Cette inégalité nous aide à démontrer que si q > 1, alors lim qⁿ = +∞, car qⁿ grandit plus vite que n.
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Les suites géométriques qⁿ ont des comportements bien définis ! Si q > 1, alors lim qⁿ = +∞ (grâce à l'inégalité de Bernoulli). Si -1 < q < 1, alors lim qⁿ = 0. Si q = 1, la limite est 1.
Attention aux cas particuliers : si q ≤ -1, la suite n'a pas de limite car elle oscille entre valeurs positives et négatives.
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Stefan S
utilisateur iOS
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Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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Khady
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Leny
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