Le cercle trigonométrique et les radians

Le cercle trigonométrique est ton meilleur ami en trigo : c'est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère. Simple mais génial !

Quand tu places un angle θ dans ce cercle, il correspond à un arc. La mesure en radians de cet angle, c'est exactement la longueur de cet arc - plutôt logique, non ?

Pour convertir entre degrés et radians, retiens ces valeurs essentielles : 360° = 2π radians, 180° = π radians, 90° = π/2 radians. Les angles 60°, 45° et 30° deviennent respectivement π/3, π/4 et π/6 radians.

💡 Astuce : Un même angle peut avoir plein de mesures différentes ! Elles sont toutes séparées de 2π, comme θ, θ + 2π, θ + 4π, etc.

Toutes les mesures d'un angle

Imagine que tu as l'angle π/4. Tu peux aussi l'écrire comme 9π/4, 17π/4, ou même -7π/4. Toutes ces valeurs représentent le même angle sur le cercle !

La notation magique pour ça : θ + k × 2π où k est n'importe quel nombre entier. Cette formule te donne toutes les mesures possibles d'un angle θ.

Maintenant, parlons cosinus et sinus. Si M est un point sur le cercle trigonométrique associé à l'angle θ, alors M a pour coordonnées (cos θ, sin θ).

💡 Propriété fondamentale : cos²θ + sin²θ = 1. Cette relation est absolument cruciale et tu la retrouveras partout !

Démonstration et mesure principale

La démonstration de cos²θ + sin²θ = 1 est en fait super directe. Le point M(cos θ, sin θ) est sur le cercle de rayon 1, donc la distance OM = 1.

En utilisant la formule de la distance : OM² = (cos θ)² + (sin θ)² = 1. Et voilà, tu obtiens la relation fondamentale !

La mesure principale d'un angle, c'est sa mesure comprise entre -π et π. C'est comme choisir la "version la plus simple" de ton angle.

💡 Méthode : Pour trouver la mesure principale, utilise θ + k × 2π et trouve le k qui place le résultat dans l'intervalle $-π, π$.

Valeurs remarquables à connaître

Pour l'exemple θ = 108π/3, on cherche k tel que -π ≤ 108π/3 + k × 2π ≤ π. Après calculs, on trouve k = -18, donc la mesure principale est 0.

Voici le tableau de valeurs à connaître par cœur :

• θ = 0 : cos θ = 1, sin θ = 0
• θ = π/6 : cos θ = √3/2, sin θ = 1/2
• θ = π/4 : cos θ = √2/2, sin θ = √2/2
• θ = π/3 : cos θ = 1/2, sin θ = √3/2
• θ = π/2 : cos θ = 0, sin θ = 1

💡 Conseil : Mémorise ce tableau ! Ces valeurs reviendront constamment dans tes exercices et au bac.