Coordonnées d'un vecteur

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$, c'est simple : tu soustrais les coordonnées du point de départ A de celles du point d'arrivée B.

La formule magique : $x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A$ et $y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A$. Tu obtiens alors le vecteur $\begin{pmatrix} x_B - x_A\y_B - y_A \end{pmatrix}$.

Quelques règles importantes à retenir : le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\0 \end{pmatrix}$, et le vecteur opposé à $\vec{u}\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}$ est $-\vec{u}\begin{pmatrix} -x\-y \end{pmatrix}$. Deux vecteurs sont égaux seulement s'ils ont exactement les mêmes coordonnées.

💡 Astuce pratique : Pour un parallélogramme ABCD, on a toujours $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ !

Norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur représente sa "longueur" ou sa "taille" - c'est une mesure positive qui te dit à quelle distance tu te déplaces.

Cette notion est cruciale car elle permet de comparer les vecteurs entre eux et de déterminer leur intensité, peu importe leur direction.

Multiplication d'un vecteur par un nombre

Multiplier un vecteur par un nombre, c'est comme l'étirer ou le rétrécir ! Si tu as un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}$ et un nombre réel $k$, alors $k\vec{u} = \begin{pmatrix} k \times x \ k \times y \end{pmatrix}$.

Cette multiplication par un scalaire est super utile : si $k > 1$, ton vecteur devient plus grand ; si $0 < k < 1$, il devient plus petit ; et si$k < 0$, il change carrément de direction !

💡 Bon à savoir : Cette opération garde la même direction (sauf si k est négatif) mais change la longueur du vecteur.