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Mathématiques

Relations de Position entre Droites

Colinéaire

Maths318Mis à jour 17 sept. 20262 pages

Comprendre les vecteurs colinéaires facilement

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Rei@lereicism
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Les vecteurs colinéaires, c'est un concept super important en géométrie qui va t'aider à comprendre quand des droites sont parallèles ou quand des points sont alignés. En gros, deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction, même s'ils n'ont pas forcément le même sens ou la même longueur.
vecteurs colinéaires (colinéraité) – page 1

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Produit d'un vecteur par un nombre réel

Quand tu multiplies un vecteur u⃗\vec{u} par un nombre réel kk, tu obtiens un nouveau vecteur ku⃗k\vec{u} qui garde la même direction que l'original. C'est comme si tu étirais ou rétrécissais ton vecteur !

Si kk est positif, ton nouveau vecteur garde le même sens. Si kk est négatif, il part dans le sens opposé. Par exemple, −u⃗-\vec{u} c'est tout simplement u⃗\vec{u} dans l'autre sens.

La norme (la longueur) de ton nouveau vecteur devient ∣∣ku⃗∣∣=∣k∣×∣∣u⃗∣∣||k\vec{u}|| = |k| \times ||\vec{u}||. Si tu multiplies par 2, ton vecteur devient deux fois plus long. Si tu multiplies par -0,5, il devient deux fois plus court et change de sens.

💡 Astuce : Pense au vecteur comme une flèche que tu peux étirer, rétrécir ou retourner selon la valeur de kk !

vecteurs colinéaires (colinéraité) – page 2

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Vecteurs colinéaires et leurs applications

Deux vecteurs colinéaires u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont comme deux flèches qui pointent dans la même direction (ou dans des directions opposées). Mathématiquement, ça veut dire qu'il existe un nombre kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}.

Cette notion est super pratique pour prouver que des droites sont parallèles. Si tu veux montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, il suffit de vérifier que les vecteurs AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} sont colinéaires.

Pour l'alignement de trois points A, B et C, c'est le même principe : ils sont alignés si et seulement si AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires. Logique, non ? Si ces deux vecteurs ont la même direction, c'est que les trois points sont sur la même droite.

⚡ Méthode clé : Pour vérifier la colinéarité, cherche toujours s'il existe un coefficient kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u} !

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