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Relations de Position entre Droites

Coplanaire

Maths455Mis à jour 15 sept. 20264 pages

Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace - Bac Maths 2022

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Tu vas maîtriser les vecteurs dans l'espace et leurs applications concrètes ! Ce chapitre t'apprend à manipuler les vecteurs en 3D, déterminer si des points sont alignés, et représenter des droites dans l'espace.
vecteurs, droites et plan de l’espace – page 1

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Les bases des vecteurs dans l'espace

La relation de Chasles reste ton outil de base : si u⃗=AB⃗\vec{u} = \vec{AB} et v⃗=BC⃗\vec{v} = \vec{BC}, alors AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}. C'est exactement comme suivre un chemin !

Des vecteurs colinéaires ont la même direction. Concrètement, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v}. Trois points A, B, C sont alignés quand les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires.

Les vecteurs coplanaires appartiennent au même plan. Trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont coplanaires si on peut écrire u⃗=xv⃗+yw⃗\vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w}.

💡 Astuce : Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace - ils permettent de décrire n'importe quel point !

vecteurs, droites et plan de l’espace – page 2

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Méthodes pratiques pour l'alignement

Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, calcule d'abord les coordonnées des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}. Ensuite, cherche s'il existe un coefficient k tel que chaque coordonnée vérifie la relation de colinéarité.

Si k1=k2=k3k_1 = k_2 = k_3, alors les vecteurs sont colinéaires et les points alignés. Si ces coefficients sont différents, les points forment un plan.

Le vecteur directeur d'une droite se lit directement dans sa représentation paramétrique. Pour (d){x=−1+2ty=4−tz=3+t(d) \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = 3 + t \end{cases}, le vecteur directeur est v⃗(2−11)\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.

💡 Méthode : Organise tes calculs en colonnes pour éviter les erreurs de signe !

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Démontrer la coplanarité des vecteurs

Pour justifier que des vecteurs sont coplanaires, cherche s'il existe deux réels a et b tels qu'un vecteur s'exprime comme combinaison des deux autres : AD⃗=aAB⃗+bAC⃗\vec{AD} = a\vec{AB} + b\vec{AC}.

Tu obtiens un système de trois équations correspondant aux trois coordonnées. Résous-le pour trouver a et b, puis vérifie que ces valeurs satisfont la troisième équation.

Si le système a une solution, les vecteurs sont coplanaires et les quatre points appartiennent au même plan. Sinon, ils définissent un volume dans l'espace.

💡 Vérification : N'oublie jamais de contrôler ta réponse avec la troisième équation - c'est souvent là que se cachent les erreurs !

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Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace se définit par un point A et un vecteur directeur u⃗\vec{u}. La représentation paramétrique s'écrit : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} où t est le paramètre.

Pour vérifier qu'un point M appartient à la droite AB, vérifie que le paramètre t reste identique pour les trois coordonnées. Si t varie selon les coordonnées, alors M n'appartient pas à la droite.

Cette méthode te permet de résoudre facilement les problèmes d'intersection et de position relative dans l'espace.

💡 Technique : Isole toujours le paramètre t dans chaque équation - s'il est constant, le point appartient à la droite !

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