Mathématiques

Relations de Position entre Droites

Coplanaire

432

•

12 déc. 2025

•

4 pages

Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace - Bac Maths 2022

elodie

@elodie.agr

Tu vas maîtriser les vecteurs dans l'espaceet leurs applications... Affiche plus

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$2 Vecteurs, droites or plans, de l'espace relation de chasles: $ \vec{u} = \vec{AB} et \vec{v} = \vec{BC} $ alors $\vec{AB}+ \vec{BC} = \ve$

Les bases des vecteurs dans l'espace

La relation de Chasles reste ton outil de base : si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$ , alors $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ . C'est exactement comme suivre un chemin !

Des vecteurs colinéaires ont la même direction. Concrètement, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel k tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ . Trois points A, B, C sont alignés quand les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Les vecteurs coplanaires appartiennent au même plan. Trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si on peut écrire $\vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w}$ .

💡 Astuce : Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace - ils permettent de décrire n'importe quel point !

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Méthodes pratiques pour l'alignement

Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, calcule d'abord les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ . Ensuite, cherche s'il existe un coefficient k tel que chaque coordonnée vérifie la relation de colinéarité.

Si $k_1 = k_2 = k_3$ , alors les vecteurs sont colinéaires et les points alignés. Si ces coefficients sont différents, les points forment un plan.

Le vecteur directeur d'une droite se lit directement dans sa représentation paramétrique. Pour $(d) \begin{cases} x = -1 + 2t \ y = 4 - t \ z = 3 + t \end{cases}$ , le vecteur directeur est $\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$ .

💡 Méthode : Organise tes calculs en colonnes pour éviter les erreurs de signe !

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Démontrer la coplanarité des vecteurs

Pour justifier que des vecteurs sont coplanaires, cherche s'il existe deux réels a et b tels qu'un vecteur s'exprime comme combinaison des deux autres : $\vec{AD} = a\vec{AB} + b\vec{AC}$ .

Tu obtiens un système de trois équations correspondant aux trois coordonnées. Résous-le pour trouver a et b, puis vérifie que ces valeurs satisfont la troisième équation.

Si le système a une solution, les vecteurs sont coplanaires et les quatre points appartiennent au même plan. Sinon, ils définissent un volume dans l'espace.

💡 Vérification : N'oublie jamais de contrôler ta réponse avec la troisième équation - c'est souvent là que se cachent les erreurs !

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Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace se définit par un point A et un vecteur directeur $\vec{u}$ . La représentation paramétrique s'écrit : $\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases}$ où t est le paramètre.

Pour vérifier qu'un point M appartient à la droite AB, vérifie que le paramètre t reste identique pour les trois coordonnées. Si t varie selon les coordonnées, alors M n'appartient pas à la droite.

Cette méthode te permet de résoudre facilement les problèmes d'intersection et de position relative dans l'espace.

💡 Technique : Isole toujours le paramètre t dans chaque équation - s'il est constant, le point appartient à la droite !

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Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace - Bac Maths 2022

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