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Comprendre les vecteurs, droites et plans en géométrie terminale

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Louise Cadiere

22/11/2025

Maths

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Matières

Maths

461

•

22 nov. 2025

•

2 pages

Comprendre les vecteurs, droites et plans en géométrie terminale

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Louise Cadiere

@louisecadiere_

Ce résumé couvre les concepts fondamentaux de géométrie analytique dans... Affiche plus

théorème Si 2 plans (P) et (Q) sont parallèles, alors tout plan (R) sécant avec l'un est sécant avec l'autre et les 2 droites d'intersection

Plans et droites dans l'espace

La géométrie dans l'espace repose sur quelques théorèmes essentiels. Si deux plans (P) et (Q) sont parallèles, alors tout plan (R) qui coupe l'un coupera nécessairement l'autre, et les droites d'intersection seront parallèles. C'est une propriété fondamentale à retenir.

Le théorème du toit nous dit que si deux plans sécants contiennent chacun une droite parallèle à l'autre, alors l'intersection de ces plans est parallèle à ces deux droites. Ce théorème est très utile pour déterminer les relations entre plans et droites.

Pour caractériser un plan, vous avez besoin de trois points non alignés ou de deux vecteurs non colinéaires. Pour l'espace complet, il vous faut quatre points non coplanaires ou trois vecteurs non coplanaires.

💡 La représentation paramétrique d'une droite est votre meilleur outil pour résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace. Elle s'écrit sous la forme: x = x₁ + t·xᵤ, y = y₁ + t·yᵤ, z = z₁ + t·zᵤ (avec t ∈ ℝ).

Pour trouver des points sur une droite (d) dirigée par un vecteur u⃗\vec{u}, il suffit de choisir un point B tel que AB⃗=λu⃗\vec{AB} = \lambda\vec{u} avec λ≠0. Les coordonnées de B se calculent alors facilement à partir des coordonnées de A et de u⃗\vec{u}.

théorème Si 2 plans (P) et (Q) sont parallèles, alors tout plan (R) sécant avec l'un est sécant avec l'autre et les 2 droites d'intersection

Manipulations des droites dans l'espace

La représentation paramétrique des droites est un outil puissant pour diverses opérations. Pour vérifier si un point appartient à une droite, remplacez ses coordonnées dans l'équation paramétrique et vérifiez si le système a une solution pour t.

Pour déterminer l'intersection de deux droites, combinez leurs équations paramétriques en un système d'équations. Les deux paramètres t doivent être égaux, ce qui permet de résoudre par élimination ou substitution.

Le parallélisme entre deux droites se vérifie par la proportionnalité de leurs vecteurs directeurs. Si les vecteurs sont proportionnels, les droites sont parallèles ou confondues.

🔑 Pour créer une représentation paramétrique à partir de deux points A et B, utilisez AB⃗\vec{AB} comme vecteur directeur et les coordonnées d'un des points comme point de référence. C'est la méthode la plus directe!

La colinéarité de vecteurs se vérifie par la proportionnalité de leurs coordonnées: si x1x2=y1y2=z1z2\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}, les vecteurs sont colinéaires. Pour la coplanarité, on cherche si un vecteur est combinaison linéaire des deux autres: w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, ce qui revient à résoudre un système d'équations.



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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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Raoul

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Plans et droites dans l'espace

La géométrie dans l'espace repose sur quelques théorèmes essentiels. Si deux plans (P) et (Q) sont parallèles, alors tout plan (R) qui coupe l'un coupera nécessairement l'autre, et les droites d'intersection seront parallèles. C'est une propriété fondamentale à retenir.

Le théorème du toit nous dit que si deux plans sécants contiennent chacun une droite parallèle à l'autre, alors l'intersection de ces plans est parallèle à ces deux droites. Ce théorème est très utile pour déterminer les relations entre plans et droites.

Pour caractériser un plan, vous avez besoin de trois points non alignés ou de deux vecteurs non colinéaires. Pour l'espace complet, il vous faut quatre points non coplanaires ou trois vecteurs non coplanaires.

💡 La représentation paramétrique d'une droite est votre meilleur outil pour résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace. Elle s'écrit sous la forme: x = x₁ + t·xᵤ, y = y₁ + t·yᵤ, z = z₁ + t·zᵤ (avec t ∈ ℝ).

Pour trouver des points sur une droite (d) dirigée par un vecteur u⃗\vec{u}, il suffit de choisir un point B tel que AB⃗=λu⃗\vec{AB} = \lambda\vec{u} avec λ≠0. Les coordonnées de B se calculent alors facilement à partir des coordonnées de A et de u⃗\vec{u}.

théorème Si 2 plans (P) et (Q) sont parallèles, alors tout plan (R) sécant avec l'un est sécant avec l'autre et les 2 droites d'intersection

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Manipulations des droites dans l'espace

La représentation paramétrique des droites est un outil puissant pour diverses opérations. Pour vérifier si un point appartient à une droite, remplacez ses coordonnées dans l'équation paramétrique et vérifiez si le système a une solution pour t.

Pour déterminer l'intersection de deux droites, combinez leurs équations paramétriques en un système d'équations. Les deux paramètres t doivent être égaux, ce qui permet de résoudre par élimination ou substitution.

Le parallélisme entre deux droites se vérifie par la proportionnalité de leurs vecteurs directeurs. Si les vecteurs sont proportionnels, les droites sont parallèles ou confondues.

🔑 Pour créer une représentation paramétrique à partir de deux points A et B, utilisez AB⃗\vec{AB} comme vecteur directeur et les coordonnées d'un des points comme point de référence. C'est la méthode la plus directe!

La colinéarité de vecteurs se vérifie par la proportionnalité de leurs coordonnées: si x1x2=y1y2=z1z2\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}, les vecteurs sont colinéaires. Pour la coplanarité, on cherche si un vecteur est combinaison linéaire des deux autres: w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, ce qui revient à résoudre un système d'équations.

Si on te demande...

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Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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