Droites et plans de l'espace

Vecteurs et droites

Les droites dans l'espace sont définies par un point et une direction.

• Vecteur: défini par une direction, un sens et une norme.
• Colinéarité: deux vecteurs sont colinéaires si $\vec{u} = k\vec{v}$, définissant la même direction.
• Droite $d$: définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ non nul tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$.

Direction d'un plan

Un plan nécessite deux vecteurs non colinéaires pour exister.

• Plan: défini par $A$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires où $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}$.

💡 Astuce: Deux droites dans l'espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Coplanarité et coordonnées

Vecteurs coplanaires et bases

La coplanarité montre si des vecteurs appartiennent au même plan.

• Coplanaires: trois vecteurs le sont si $\vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w}$.
• Base: formée par trois vecteurs non coplanaires $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Formules essentielles

Calculs de coordonnées dans l'espace avec $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$.

• Vecteur: $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$
• Milieu $I$: $I(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2})$

Exemple: Si $A(1, 2, 3)$ et $B(3, 2, 1)$, alors: $\overrightarrow{AB}(3-1; 2-2; 1-3) = \overrightarrow{AB}(2; 0; -2)$.

💡 Astuce: Pour additionner des vecteurs bout à bout, utilise la relation de Chasles: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.